用空间向量破解空间几何体中的动态问题

徐国平

如果我们把平面向量的基础理论知识扩充到空间向量当中去解决空间几何体中的某些动态问题，那么有时候会获得较为理想的解题途径.

经过教学实践分析，空间几何问题中的传统解法有时候虽然在运算量方面有所弱化，但其对于思维量的要求还是比较高的(尤其是作图能力的要求).如果我们能用空间向量解法去处理空间几何体中的同类问题，很多时候虽然增加了运算量，但是可以明显地感觉到思维能力要求降低了.从高考应试角度来讲，反而更加有利于普通学生的理解与掌握，这正是所谓的“不同层次的学生学不同的数学”.通过对教材理念的对比发现，新课程增加“平面向量”这一部分内容，其实并不是为了降低高考要求，而是为部分学生的可持续发展作一个基础性的铺垫工作，这并没有违背新一轮课改的理念，反而以另一种方式体现了向量的工具性作用.

文［1］与文［2］分别对2006年浙江高考理科卷第14题作了分析与解答，从处理过程来看，均显得方法奇巧，思维层次深遽，但是笔者通过对这一道高考试题的再分析，发现还有更加简单的解法.不过，解题思路来自于空间向量，本文尝试从空间向量的角度对空间几何体中的这一类动态问题作出一个比较系统的探讨.

我们发现，对于空间几何体中的“动态”的平行问题、垂直问题、空间角与空间距离等主要问题，如果能够建立空间直角坐标系，借助空间向量进行处理，效果更加明显.下面对空间几何体中的动点问题、动线问题、动面问题以及动体问题分别作一个典型分析.

1、空间几何体中的动点问题

例1 如图1，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=2a，点E在PD上，且PE∶ED=2∶1.问在棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC?试证明你的结论.

证明：如图1，取BC中点H，根据题设条件可以证明：PA⊥平面ABCD，AH⊥AD，所以此时可以建立空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，D(a,0,0),B(-a2,0,3a2),

C(a2,0,3a2),P(0,a,0)，

由于PE∶ED=2∶1，故根据定比分点公式得点E坐标为E(2a3,a3,0).

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”