巧用ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ证明不等式

卢伟峰

在很多问题中都涉及了这样一个重要的不等式：当x>-1且x≠0时，有ln(1+x)

证：构造函数f(x)=ln(1+x)-x，求导得f′(x)=1x+1-1.当x>0时，则f′(x)<0，所以函数f(x)=ln(1+x)-x在(0，+∞)上是单调递减函数，则有f(x)0，所以函数f(x)=ln(1+x)-x在(-1，0)上是单调递增函数，则有f(x)

变式 当x>0且x≠1时，lnx0时，1+x

这个不等式及变式的应用非常广泛，下面结合几个实例来加以说明.

例1 已知ai>0(i=1,2,…)，证明：a1+a2+a3+…+ann≥na1a2a3…an.

证：令A=a1+a2+a3+…+ann,因为aiA>0，则有lnaiA≤aiA-1(i=1,2,…)成立，所以lna1A+lna2A+…+lnanA≤a1A+a2A+…+anA-n=n-n=0,即lna1A+lna2A+…+lnanA≤0，即a1a2a3…anAn≤1，则An≥a1a2a3…an,即a1+a2+a3+…+ann≥na1a2a3…an得证.

评注：均值不等式的证明方法非常多，此法采用构造重要不等式lnaiA≤aiA-1(i=1,2,…)来证明，更显得格外的简洁

明快.

例2 (2004全国，理22题改编)已知g(x)=xlnx，当b>a>0时，求证：0

证：由g(a)+g(b)-2g(a+b2)=alna+blnb-(a+b)lna+b2=aln2aa+b+bln2ba+b,结合b-a2a>0,-1

-ln(1+b-a2a)>-b-a2a和ln2ba+b=-ln(1+a-b2b)>-a-b2b,所以aln2aa+b+bln2ba+b>-b-a2-a-b2=0,即0

综上所述0

评注：这道题目的证明难度较大，问题在于学生不能很快的发现ln(1+x

)

例3 (2005重庆，理22改编)数列{an}满足a1=1且当n≥2时，有an≥2,an+1=(1+1n2+n)an+12n(n≥1)，证明：an

证：因为an≥2(n≥2)且a1=1,则有an+1=(1+1n2+n)an+12n≤(1+1n2+n+12n)an(n≥1)，对其两边取对数得：lnan+1≤ln(1+1n2+n+12n)+lnan

评注：解决此问题要有很强的目标意识，注意到证明的目标中含有特征数e

，此时我们联想到自然对数，自然就考虑重要不等式，于是变换目标结构，即证lnan<2，再围绕着目标，对条件适当放大产生积式，然后对于积式取对数，变成和式再迭加，从而问题得到解决.

例4 若数列{an}满足a1∈(0，1)，an+1=ln(2-an)+an(n∈N*)，证明：0

分析：题目条件中具有结构ln(2-an)=

ln［1+(1-an)］，所以考虑直接应用重要不等式进行证明.

证：当n=1时，因为a1∈(0,1),a2=ln(2-a1)+a1=ln［1+(1-a1)］+a1<1-a1+a1=1且a2-a1=ln(2-a1)>0,则0

假设n=k时，ak+1=ln(2-ak)+ak,有00,∴0

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文