让学生学会发现、学会研究

管志炎　谢全苗

研究性学习不但是中小学课程改革的一个十分重要的话题，而且也是培养学生素质、提高创新能力的一条行之有效的途径，更是提高(通常意义下的)教学质量的一个亮点.然而入门难，难在课堂教学中到底如何具体实施和把握?这就是摆在我们面前的一个亟待去思考、探索、实践的课题.

其实，研究性学习从本质上讲，就是把教学的主动权交给学生，让学生在积极、主动的学习环境中，全神贯注、富有兴趣地去实践、理解、应用、探索和创新.其意义在于使学生经历探索过程，让学生学会发现、学会研究.教师应当为学生创设探索性的情境，以激发学生探究的欲望，同时还要提供有结构的材料，这些材料是学生实践活动的对象，是引起和形成学生探究发现的工具和知识的载体.本文以数学新教材圆锥曲线(椭圆三定义、六方程)的教学研究性学习活动为例，谈谈笔者的认识和实践，并就教于同行.

教学过程

1.精心设计实验，创设创新情境

让学生拿出课前准备好的一张纸板、一段细绳和两枚图钉，按课本要求画椭圆.先用多媒体演示画法，再让学生自己动手，使学生尝到发现的喜悦.固定绳的长为2a，两图钉间的距离为2c，通过改变图钉间的距离，学生实践得出结论：当c=0时是圆；当2a≥2c时是椭圆；当c→a时椭圆越来越扁平；当2a=2c时是一线段；2a<2c时，轨迹不存在.通过作图实验学生不难自己归纳出椭圆的定义.

在学生对椭圆概念有一个比较清晰认识的基础上，进一步引导学生研究椭圆的轨迹方程.

2.还给学生思考空间，指导学生探索研究

T(教师，下同)：下面分小组进行讨论研究，看哪一组先能推导出椭圆的轨迹方程，组际之间可以交流和互助，也可邀请老师一起讨论、研究，最好不(但也可以)参考、借助课本的推导，看那一组能(希望有)有所发现、有所创新.到下节课请各组推荐出代表讲讲你们的研究和发现，即由代表提交并宣读各自的研究报告(可用实物投影仪将小组的成果进行放映、展示).下面就请各小组开始各自研究讨论.

S1(第三小组)：我们参考了课本，具体是(用实物投影仪展示结果)：

设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a，则F1、F2的坐标分别是(-c,0)、(c,0).

椭圆就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}.∵|MF1|=(x+c)2+y2,|MF2|=(x-c)2+y2,得方程

(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a.①

将这个方程移项，两边平方，得

a2-cx=a(x-c)2+y2.②

两边再平方，得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2.③ 整理，得

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).④

由椭圆定义可知，2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0.设a2-c2=b2(b>0)，整理，得

x2a2+y2b2=1(a>b>0).⑤

T：S1参考了课本并获得了上述结果，是值得肯定的.现在我们来具体分析上述过程中每个环节(运算)的作用与意义：

(1)首先受数学美的驱使，使建立的坐标系、所设的点坐标都对称和谐；(2)在推导中首先得到的①式事实上已是椭圆方程，但由于它不符合数学简洁美的特性，因此需要简化：因左边是两个根号之和，于是就可移项平方得到②式，整理后还有一个根号，于是再平方，进一步简化得到④式；④式虽比①式简单，但还是没有达到数学美的最高境界，故用变量代换(补美思想)：设a2-c2=b2(b>0)得到⑤式(通过教师的讲解，让学生进一步明确了每一步运算的意义、作用和所以要这样做的原因)，我们称⑤式为：

S：椭圆的标准方程.

T：对!我们又为何要称⑤式为椭圆的标准方程?

S：(学生答出简洁美、对称美等许多优点，略)

T：讲得好!那么⑤式与圆的标准方程比较，又有什么不足呢?

S：(学生比较看出)：⑤式无法揭示出椭圆上一点到两定点的距离之和等于2a这一本质属性.

T：对!那么，在上述推导过程中，你看哪一步有这一特征呢?

S：(学生很快得出)：相比之下，①式正好有这一优点.

T：(教师趁势追问)：讲得好!现在大家再看从①式到⑤式的推导过程中又是在哪里失去了这一优点?至此学生便兴味盎然地开始重新审视原推导过程，课堂气氛也活跃起来，他们注意到：如果没有对①式的移项、两边平方，就不能化简、整理得到⑤式；而到了②式，由于再次平方，虽化简得到⑤式，但却失去了这一优点.这样，大家便不约而同地把注意力集中到了②式.

这时，老师作为一个参与者与学生一起讨论，并“恰当好处”地启发、引导学生.

T(教师若有所思地发声自问)：那到了②式，要是不再平方，而用其他办法变形又会如何呢?这个办法又是什么呢?请哪一组来讲讲?

S2(第二小组)：两边同除以a即可.

T：对!(并顺手写出)：a-cax=(x-c)2+y2.⑥

T：⑥式的右边有什么特征吗?

S2：⑥式的右边有明显的几何意义，即动点M(x,y)到焦点F2(c,0)的距离.

T：那么⑥式的左边也有明显的几何意义吗?

S2：没有.

T：为什么?

S2：在x前面有系数ca.

T：如何处理，才能使它也有明显的几何意义呢?

S2：把系数ca提出，并(考虑到距离)加绝对值.

T：对!提出系数ca，得ca(a2c-x)=(x-c)2+y2 ⑦，并整理为(x-c)2+y2|a2c-x|=ca.⑧

这是一个全新而又具有明显几何意义的关系式，也是一个不同于课本推导的新方法、新发现(为让学生体验发现和成功的喜悦，于是又自问)：

T：⑧式又有怎样的几何意义呢?

S：(学生们兴高采烈，能基本完整地讲出)：这是椭圆上的一个动点M(x,y)到焦点F(c,0)和定直线l:x=a2c的距离之比等于常数ca(a>c>0).

到了这里学生兴奋极了，他们既感到满足，又感到总欠完善，而又有点不达意之感，于是老师又问：那么，满足⑧式的轨迹是椭圆吗?

这时整个课堂的气氛可活跃了，学生有的说是，有的说不是，也有的说不一定是，即使是也要证明.教师对后一种同学严谨的思维方式、习惯和前一种凭直观得到结果的方法都从不同角度给以肯定，并带着问题与学生一起去探索.这时再一起去看例子，并引入椭圆的第二定义，可谓是水到渠成，顺水推舟了，这正是教材例子所要达到的教学目的.我们认为，这样处理教材、设计教学，既加深了学生对曲线方程的纯粹性和完备 性的理解，弥补了教材的不足，又兼顾了例子的目的要求，还让学生手脑并用，使学生经历了发现，体验了成功.

此时，学生心情愉悦，一种成功感油然而生，并产生船到码头车到站——可以停一停了的感觉.这时老师是一个参与者，但更是一个导演，为引人入胜，故又趁热打铁，再次引导.

T：S2(第二小组)参考了教材的推导但又不拘泥于教材，对原推导过程中由②到③，变成由②到⑦，并由此得到一个全新的⑧，大胆进行了创新，并与大家一起得到椭圆的第二定义——这么一个好定义，这很好!现在我们一起来看看，在这一过程中是否还有什么可以挖掘的呢?谁能说说你的奇思妙想吗?

S：刚才得到椭圆的第二定义，是否还可以再挖掘、得到椭圆的第三定义呢?

T：这个想法(猜想)很好，有道理!应该试试.哪一小组能证实这一猜想?

S3(第一小组)：原推导过程中，到了④式：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)，再设a2-c2=b2(b>0)，整理，得x2a2+y2b2=1(a>b>0)⑤

如果不是设a2-c2=b2，进行整理，而是两边同除以a2-c2，则得到：a2y2a2-c2=a2-x2⑤′，即a2y2x2-a2=c2-a2.

两边再同除以a2,得y2x2-a2=e2-1.即

yx-a·yx+a=e2-1(-1

S：这时大家不约而同地说：⑥′式的几何意义为：一个动点M(x,y)到两定点(-a,0)、(a,0)的斜率的积等于常数e2-1(-1

椭圆的第三定义：平面内一个动点M(x,y)到两定点A1(-a,0)、A2(a,0)的

斜率的积等于常数e2-1(-1

T：很好!大家通过自己的努力，得到了一个崭新的椭圆的第三定义.真有意思!如果我们用它来解决教材P96第4题(新教材就补充此题)，那将十分简捷：

△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(-6，0)、(6，0)，边AC、BC所在直线的斜率乘积等于-16，求顶点C的轨迹方程.

解：依上述定义可知顶点C的轨迹方程是椭圆，且a=6.∵e2-1=-b

2a2=-49,∴b2=16.故所求顶点C的方程为x262+y242=1(y≠0).

为了把这次研究性学习引向纵深，让学生在崭新的研究性学习中学到更多的与现实教学相关的内容，力争在提高综合运用能力的同时提高创新能力，以让学生在扎扎实实的应试教育中，实实在在地提高创新能力.因此，及时地抓住学生探索、研究的契机，在研究了椭圆的三个定义的基础上，进一步引导学生研究、发现椭圆(双曲线)方程的六种形式，让学生在新的层面上学会发现、学会研究.

3.抓住学生探索、研究的契机，让学生在新的层面上学会发现、学会研究

T：前面我们一起研究了椭圆的三个定义，通过对原椭圆方程推导过程的控制、探索、研究，发现了许多宝贵的数学成果——椭圆的第二、三定义，使大家经历了发现，体验成功，然而，我们发现在方程的形式上我们未能进行探索.

例如，我们通过⑧：(x-c)2+y2|a2c-x|=ca，研究了椭圆的第二定义，但却仍延用了原椭圆的标准方程，现在，我们是否能在方程的形式上进行研究，使它能像直线方程一样也具有多样性，并争取有新的突破呢?换句话说就是方程中是否能不用原定义中表示长、短轴的参数a、b来表示，而用新定义(第二定义)中的准线参数m与离心率e来表示?

有了这一铺垫，大家就立即着手进行解决.

S：设准线为x=±m(m>0)，离心率为e，则m=a2c,e=ca,c=e2m,由式⑧得：(x-e2m)2+y2|x-m|=e,

化简得：(1-e2)x2+y2=e2m+2(1-e2),∵e≠1，两边同除以e2(1-e2)，

于是得：

x2e2+y2e2(1-e2)=m2.⑨

T：对!这就是焦点在x轴上的方程，我们称它为椭圆的第二方程(统一式)，同理可得焦点在y轴上的椭圆的方程：y2e2+x2e2(1-e2)=m2.⑩

这两个方程与椭圆的标准方程一样对称、优美，便于记忆.凡与离心率、准线相关的问题用它来解决十分简捷.

T：那么第三定义下的方程又怎样呢?(对此学生更是兴趣盎然，并很快得出结果)：

S：由式⑥′：yx+a·yx-a=e2-1(-1

S：有点象，但这里没有y0，即y2-y20=(e2-1)(x2-x20)能成立吗?

T：问得好!这里，大家在比较中大家看出差异，进行了猜想：B11５囊话闶轿：y2-y20=(e2-1)(x2-x20).B12

T：那么，你能证明这个猜想成立吗?

S：能，对原推导的④式：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)两边同除以a2得：y2=(e2-1)x2+b2.B13T：好!这个方程虽不是所求证的B12Ｊ剑它倒有点象直线方程中的斜截式：y=kx+b，歪打正着，可算是一个成果.但可以看到从原推导过程出发变形已难以得到B12Ｊ剑那我们是否可直接利用椭圆的标准方程来得到B12Ｊ侥?

经老师这么一鼓励、提醒，学生就很快利用椭圆的标准方程来求得B12Ｊ剑

e2=c2a2=a2-b2a2 ①′

x20a2+y20b2=1 ②′

由①′得：b2=a2(1-e2),代入②，得：a2=x20+y201-e2,∴b2=(1-e2)x20+y20,把a2、b2代入椭圆的标准方程，整理即得y2-y20=(e2-1)(x2-x20).

T：对!这就是所求的B12Ｊ剑我们称它为点离式，大家不难看出B11！ⅹB13＞褪仟B12５奶厥馇樾危即：

T：当P(x0,y0)=P(a,0)时，由B12Ｊ郊吹脃2=(e2-1)(x2-a2)B11＃同理，当P(x0,y0)=P(0,b)时，由B12Ｊ郊吹脃2=(e2-1)x2+b2B13 同样，我们统称B11！ⅹB13Ｎ离截式.

这时学生运用类比思想，又猜想说：

S：那么，是否也还能有个像直线方程一样的两点式呢?

T：这个猜想猜得好!有意思.下面请大家一起用椭圆的标准方程来证明这个猜想：

T：设P(x1,y1),Q(x2,y2)是椭圆上两点，且|x1|≠|x2|,|y1|≠|y2|，则x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,∴b2a2=y22-y12x12-x22，又a2=b2+c2,e=ca,∴e2-1=y22-y12x22-x12.B14

由y2-y12=(e2-1)(x2-x12)得：

e2-1=y2-y21x2-x21，∴y2-y12x2-x12=y22-y12x22-x12，

即y2-y12y22-y12=x2-x12x22-x12.B15

T：对!这就是椭圆方程的两点式.为让学生继续探索，教师提问：你还能将B14Ｊ剑篹2-1=y22-y12x22-x12变形并得到新的成果吗?

S：设PQ的中点为M(x0,y0)，O是原点，则由B14５胑2-1=y2-y1x2-x1·y2+y1x2+x1=kPQ·yMxM=kPQ·kOM.

T：变得好!我们又得到新的成果：椭圆(双曲线)的离心率与其弦的中点(或原点到中点的斜率)及斜率的关系式：

kPQ·yMxM=kPQ·kOM=e2-1(焦点在x轴上)B16,kPQ·yMxM=kPQ·kOM=1e2-1(焦点在y轴上).B17

学生们觉得在椭圆(双曲线)方程中能获得这些与直线方程这样对应、和谐 的关系及在直线方程中所没有的统一式，实在是太有意思了!这远比原来在椭圆(双曲线)方程中只有一个标准方程不知要丰富多少.事实上只要将直线方程中的量(常量或变量)中的“一次”改为“二次”；把k换成e2-1即得相应的椭圆(双曲线)方程，真是奇妙的很!这是原本所没有想象到的可喜成果，这种成功，惊喜、美妙的体验将进一步激发学生去探索、研究的欲望，并从一个新的层面上去学会发现、学会研究.

以上通过对椭圆三定义、六方程的研究，使学生一次又一次经历了探索、发现，体验了成功，得到了许多创新成果.这是师生原本都没有想象到的，也是传统教学所不能达到的.

正如阿基米德所说：“如果给我一个支点，我就可以撬起整个地球”.研究性学习无疑正是这样一个既能全面提高新世纪学生的整体素质和创新能力，并真正提高高中数学教学质量的支点，它将无疑为高中教学注入了新的活力，带来了新的生机和希望.

参考文献

［1］谢全苗.研究性学习在高三教学中的尝试——椭圆(三个)定义教学一则，数学通讯.2002.19.

［2］吴永中.椭圆、双曲线的点离式方程及其应用.中学数学(湖北)2000.4.

［3］孙大志.椭圆、双曲线的统一方程的应用.中学数学月刊.1999.11.

［4］谢全苗.椭圆、双曲线方程的第二定义的创新教学设计.中学数学教学参考.2001.10.

［5］罗必耀.椭圆、双曲线方程的三种形式.中学数学月刊.2001.6

［6］谢全苗.与中学数学教师谈数学教育理论对中学数学教学工作的帮助.数学通报.2000.6.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文