高三复习课上的一次“小题大做”

郑飞龙

自恢复高考制度以来，已近三十个春秋，很多做法似乎已经成为固定经验，“大容量、高密度、快节奏”几乎成了高三数学复习课的主旋律.笔者作为一名高三数学老师，也毫不例外地承袭这一做法，“做不完的练习、讲不完的题目”，为了所谓的教学进度，常常是“挥汗如雨、一讲到头”，留给学生思考的时间几乎没有.几年下来，教学成绩还算不错，这使得笔者更加相信这种做法的合理性.但是今年初的一节复习课，却使笔者陷入了深思.

一、教学片段

在高三一节复习课上，笔者计划分析一张模拟试卷，由于需要分析的题目较多，笔者有意加快了讲解的速度.试卷中有这样一道题目：

数列{an}中，a1=12,an+an+1=32n+1,n∈N*，则limn→∞(a1+a2+…+an)=().

A.1 B.12 C.32 D.3

师：同学们，要解决这个题目，首先应该想到求出数列{an}的通项公式.那么，我们该如何来求它的通项公式呢?

此时，笔者环顾了一下教室，发现有几个同学开始思考，用笔在纸上画着，但是有些学生好象并没有思考笔者的问题，似乎对笔者的问题不为以然，笔者不禁心生疑惑，难道这种做法不妥?还是学生另有想法?笔者陷入了矛盾之中，如果让他们各抒己见，今天的任务铁定完成不了，但是如果按自己的思路讲下去，似乎并没有多少人关注，收效肯定有限.经过权衡，笔者决定倾听他们的意见之后再作决定.

师：我注意到有些同学似乎另有想法，有没有更为简洁的方法?

生甲：我们不用求通项公式，把an+an+1看作一个新数列{bn}，则2(a1+a2+…+an)=a1+b1+b2+…+bn-1+an，而{bn}是一个公比小于1

的等比数列，a1是常数，它们的极限都可求出，而an的极限…….

(甲遇到了新问题，an的极限他没办法解决了，学生们在窃窃私语：那不是又要求数列{an}的通项公式吗?笔者为生甲的观察能力感到高兴，这确实是一种好的方法.)

师：an的极限该如何求呢?是不是必须要求an的通项公式?

生乙：老师,an的极限是0.

师：为什么?

生乙：因为limn→∞(an+an+1)=0,而limn→∞an=limn→∞an+1,所以limn→∞an=0.

师：生甲和生乙两名同学都能从整体出发，充分利用了题目条件的特征，他们提供的方法非常好，回避了求通项公式这个难点，这种放眼全局、从整体到局部的观念值得大家借鉴.

(讲到这里，笔者对刚才的解法还是满意的，甚至觉得这种方法比笔者刚才要提供的解法好，考虑到进度的关系，笔者打算把求通项公式的问题留给学生课余时间解决，接下去讲解另外一个问题.)

师：如果要先求出数列{an}的通项公式，然后再求极限，比刚才的做法要繁复一点，是不是呢?由于时间的关系，我们把这个问题留给大家课余时间探讨，下面我们看下一道题……

(就在这时，我的话被平时发言并不大踊跃的生丙打断了.)

生丙：通过求通项公式解决本题很简单啊!

(众生的目光一齐投向生丙，对于本来就不太发言的生丙，如果不倾听他的意见，必将挫伤他的积极性.)

师：丙同学，请你介绍一下你的方法好吗?

生丙：根据这个递推关系，我们很容易求出数列的前几项并猜测出数列的通项公式an=12n,虽然此猜想还需要证明，但作为选择题，我们不需小题大做，这样就可以很快地选出答案!

师：丙同学的方法很好，从特殊到一般，沿着归纳、猜想、证明这一思路，得到了问题的解，这也是科学研究中应用最广泛的思维方式，另外，丙同学积极发表自己见解的精神也值得大家学习!

(生丙的发言使课堂气氛变得活跃起来，大多数同学跃跃欲试，想得到更好的方法，笔者意识到，如果能对这一问题做更进一步的探讨，才能使问题解决得更加趋于完美.)

师：丙同学刚才提到了“小题大做”，诚然，解决一道小题目，在做法上没有必要小题大做，但是在学习的过程中，适当的“小题大做”却是必要的，今天我们就来个“小题大做”(众生笑)现在请大家思考，根据递推关系求通项除了归纳法，还有什么方法?

众生：把递推关系转化为等比数列、等差数列或者可以利用累加、累乘等常见方法求通项的情形……

师：类似于an+an+1=32n+1这个递推关系求通项的问题，我们以前碰到过吗?

生丁：我们曾经做过一道题目，是根据an+1-3an=2n+1这个递推关系求通项.

师：解法如何?

生：两边同除以2n+1，然后构造新数列转化为等比数列求解.

师：很好，丁同学能够联想、类比曾经解决过的题目，那你们再看看这个题目中的递推关系，能够解决了吗?

众生：(恍然大悟地)：噢!两边同乘以2n+1.

师：同学们，我们把递推关系变形为2n+1·an+1-1=-2(2na

n-1)，则数列{2nan-1}就是等比数列了，是吗?

众生：对!

师：那么请大家求出这个等比数列的通项!

(学生们迅速展开了运算)

生戊：(惊讶地)：老师，不好了，首项21a1-1=0!

(同学们都发现了这个问题，开始讨论)

师：首项是零，那自然不是等比数列了，怎么办呢?刚才的方法是不是要放弃了?

生庚：那所有项不就全为0了吗?所以an=0.

师：很好!

师：刚才我们利用多种思路探讨了这个题目，大家采用了从整体到局部、从特殊到一般、联想类比等重要的思维方式，这些思维方法是我们解决问题的重要方法.通过这个题目，我们对利用递推关系求通项的一般方法有了更系统的认识，探讨过程中出现的问题也是我们要注意的.

这时候，半节课已经过去，原来的课堂计划肯定是完不成了，但是笔者对刚才的“小题大做”感到非常满意.

二、课后反思

课后，笔者对本节课进行了反思，如果按照原计划进行，学生所得到的东西是否更多?答案几乎是肯定的，如果不是“小题大做”，这节课就是一节非常普通的试卷讲评课，学生的收益肯定要少得多!由此看来，我们平常的教学真的有问题吗?笔者不禁陷入了思索.

1.为什么一定要追求“高、大、全”?

就课程背景下，数学教学要合理使用教材和资料，高三复习也不例外，不能因为对象是高三学生，就在选题上注重“高、大、全”，追求“新、奇、难”，对那些既是基础又富有内涵的题目不屑一顾，从而忽视了对学生进行基础知识和基础技能的强化.本节课之所以成功，就是缘于能够“小题大做”，充分发挥小题目的内涵，以小见大.

2.为什么总是要剥夺学生思考、发言的机会?

“课堂教学中要注重发挥学生的主体作用”，

是每位老师耳熟能详的一句话，但是要真正在教学过程中落实却并非易事.尤其是高三复习课，我们总是抱怨时间不够用，课堂上为了所谓的进度，很少听取学生的见解，“讲台上，老师挥汗如雨；课桌旁，学生昏昏欲睡”，本节课上，我们可以设想，如果笔者不去倾听学生的见解，将会是怎样的景象?

“人的思想有多远，他就能走多远”.学生的思维能力和创新能力是不可以简单地估量的，只要我们给他们充分的思维时间和空间，他们的探索活动和探索成果将会远远地超出我们的想象.

3.为什么总是事与愿违?

对学生的研究，特别是对学生学情的调查，我们可能会得出这样的事实，他正好与我们常态的判断相反：

我们不是抓松了，而是太紧了，大量的作业充斥着休息的时间和思考的时间；

我们不是讲虚了，而是太实了，不是从学科整体的高度分析问题，从知识网络交汇出思考解法，而是让学生在具体的题型训练和具体的解题术中不能自拔；

我们不是练得太少了，而是太多了，复习当然是重复，但重复过多就会有抑制情绪，过多的

训练会产生逆反心理.［1］

为什么事与愿违?就是没有牢固地树立“以人为本”的意识.高考复习必须以学生为本，重视学生的心理现象，其中包括焦虑、厌倦情绪、恐惧心理.一个人面临着前途攸关的决策时，是非常脆弱的，我们必须相当慎重，小心呵护.

数学课作为高考的主干课程，学生的重视程度毋庸置疑，但是很多高三学生却发出了“数学啊!想说爱你不容易”的感慨，为什么会这样呢?笔者以为，这正是每一位数学老师需要思索的.

参考文献

［1］裴光亚.高考数学复习的话题与认识.中学数学教学参考.2006，3.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文