探求函数图像变换对函数定义域的影响

林再生

近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对三角函数这一章的内容考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图像与性质的考查上有所加强.对三角函数图像进行变换是研究三角函数性质的有效途径.本文将以课本的一道三角函数习题为例探求函数变换对定义域的影响.有兴趣的读者还可探求函数变换对值域的影响.

1.课本习题及教学用书解法展示

普通高中课程标准实验教科书人教版数学必修4习题1.5A组第3题如下：

不画图，直接写出下列函数的振幅、周期与初相，并说明这些函数的图像可由正弦曲线经过怎样的变化得到(注意定义域)：

(1)y=8sin(x4-π8),x∈［0，+∞)；

(2)y=13sin(3x+π7),x∈［0，+∞).

配套教师教学用书提供如下解答和说明：

(1)振幅是8，周期是8π，初相是-π8.

先把正弦曲线y0=sinx,x∈R向右平行移动π8个单位长度，得到函数y1=sin(x-π8)，x∈R的图像；再把函数y1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，得到函数y2=sin(x4-π8)，x∈R的图像；再把函数y2的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的8倍(横坐标不变)，得到函数y3=8sin(x4-π8)，x∈R的图像；最后把函数y3的图像在y轴左侧部分抹去，就得到了函数y=8sin

(x4-π8)，x∈［0,+∞)的图像.

(2)解答类似(1)，在此从略.

评注：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并认识函数y=Asin

(ωx+φ)的图像与正弦曲线的关系.

2.习题的设计意图探究

习题题目特别用括号注明注意定义域，若根据教学用书上的说明，此题是为了让同学们巩固

三角函数图像的变换，注意定义域是为了让同学们注意了解简谐振动的物理量与函数解析式

的关系，其中有一点应特别注意的是实际应用问题中的函数定义域一般为［0,+∞).

但笔者认为此题未能体现实际物理量定义域与y=Asin(ωx+φ)定义域的区别，此题并不能强调实际物理量的取值为［0,+∞).若要强调实际问题函数的定义域为［0,+∞)，设计一道实际应用题比较妥当.

一般而言，函数或三角函数在进行变换过程中，定义域也可能随之变化.习题在目标函数后注明了定义域为［0,+∞)，并在题目括号中注明注意定义域.笔者认为编者编此习题的初衷是让同学们巩固三角函数图像的变换，并了解与掌握三角函数图像变换对函数定义域的影响.

3.探求三角函数图像变换对函数定义域的影响

函数y=Asin(ωx+φ)+b中的A，ω,φ,b变化时，对函数图像的形状和位置会产生影响，

A和ω确定图像形状，φ和b确定图像与坐标的位置关系.

3.1 三角函数图像振幅变换对函数定义域的影响

由A的变化引起的图像变换称为振幅变换，它实质上是纵向的伸缩.

若将正弦曲线y=sinx,x∈R的图像上所有点的纵坐标伸长或缩短到原来的A(A>0)倍(横坐标不变)，得到函数y=Asinx的定义域仍为R.

若将函数y=sinx,x∈［m,+∞)的图像上所有点的纵坐标伸长或缩短到原来的A(A>0)倍(横坐标不变)，得到函数y=Asinx的定义域也为［m,+∞).

若将函数y=sinx,x∈(-∞,n］的图像上所有点的纵坐标伸长或缩短到原来的A(A>0)倍(横坐标不变)，得到函数y=Asinx的定义域也为(-∞,n］.

若将函数y=sinx,x∈［m,n］的图像上所有点的纵坐标伸长或缩短到原来的A(A>0)倍(横坐标不变)，得到函数y=Asinx的定义域也为［m,n］.

上述函数的定义域中的闭区间改为开区间，结论一样成立.

3.2 三角函数图像周期变换对函数定义域的影响

由ω的变化引起的图像变换称为周期变换，它实质上是横向的伸缩.

若将函数y=sinx,x∈R的图像上所有点的横坐标伸长或缩短到原来的ω(ω>0)倍(纵坐标不变)，得到函数y=sinωx的定义域也为R.

若将函数y=sinx,x∈［m,+∞)的图像上所有点的横坐标伸长或缩短到原来的ω(ω>0)倍(纵坐标不变)，得到函数y=sinωx的定义域为［mω,+∞).

若将函数y=sinx,x∈(-∞,n］的图像上所有点的横坐标伸长或缩短到原来的ω(ω>0)倍(纵坐标不变)，得到函数y=sinωx的定义域为(-∞，nω］.

若将函数y=sinx,x∈［m,n］的图像上所有点的横坐标伸长或缩短到原来的ω(ω>0)倍(纵坐标不变)，得到函数y=sinωx的定义域为［mω,nω］.

上述函数的定义域中的闭区间改为开区间，结论一样成立.

3.3 三角函数图像相位变换对函数定义域的影响

由φ的变化引起的图像变换称为相位变换，它实质上是一种左、右平移变换.

若将正弦曲线y=sinx,x∈R的图像上所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位，得到函数y=sin(x+φ)的定义域也为R.

若将正弦曲线y=sinx,x∈［m,+∞)的图像上所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位，得到函数y=sin(x+φ)的定义域为［m-φ,+∞).

若将正弦曲线y=sinx,x∈(-∞，n］的图像上所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位，得到函数y=sin(x+φ)的定义域为(-∞，n-φ］.

若将正弦曲线y=sinx,x∈［m，n］的图像上所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位，得到函数y=sin(x+φ)的定义域为［m-φ，n-φ］.

3.4 三角函数图像上下平移对函数定义域的影响

由b的变化引起的变换称为上、下平移变换.将三角函数图像进行上、下平移变换时，易知其定义域不会发生变化.

4.变换对定义域影响的推广

4.1 若将函数y=f(x)的图像上所有点的纵坐标伸长或缩短到原来的A(A>0)倍(横坐标不变

)，得到函数y=Af(x)的定义域不会发生变化.

4.2 若将函数y=f(x)的图像上所有点的横坐标伸长或缩短到原来的ω(ω>0)倍(纵坐标不变

)，得到函数y=f(ωx)的定义域的起点值和终点值分别是原函数定义域的起点值和终点值的1ω.

4.3 若将函数y=f(x)的图像上所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位

，得到函数y=f(x+φ)的定义域的起点值和终点值分别是原函数定义域的起点值减φ和终点值减φ.

4.4 若将函数y=f(x)的图像上所有点向上(当b>0时)或向下(当b<0时)平移|b|个单位，得到函数y=f(x)+b的定义域不会发生变化.

5.课本习题的另解

解：(1)为了得到函数y=8sin(x4-π8),x∈［0,+∞)，只需将函数y3=sin(x4-π8),x∈［0,+∞)的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的8倍(横坐标不变)；为了得到函数y3，只需将函数y2=sin(x-π8),x∈［0,+∞)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)；为得到函数y2，只需将函数y1=sinx,x∈［-π8,+∞)的图像上所有点向右平移π8个单位.

(2)为了得到函数y=13sin(3x+π7),x∈［0,+∞)，只需将函数y3=13sin3x,x∈［π21,+∞)的图像上所有点向左平移π21个单位；为了得到函数y3，只需将函数y2=13sinx,x∈［π7,+∞)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)；为了得到函数y2，只需将函数y1=sinx,x∈［π7,+∞］的图像上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍(横坐标不变).

6.一类新编题

通过对这道课本习题的研究性学习，我们可以以此为背景新编出一类习题.此类习题在教学时有助于同学们对函数定义域的进一步深刻理解，也可以对函数变换(三角函数变换)加深巩固，更可能成为高考考察三角函数部分的新视角.

6.1 已知函数y=sin(2x-π3),x∈(π3,2π3)，将其图像上所有点向右平移π3个单位，可得(D).

A.函数y=sin(2x-2π3),x∈(0,π3)

B.函数y=sin(2x-2π3),x∈(2π3,π)

C.函数y=-sin2x，x∈(π6,π2)

D.函数y=-sin2x，x∈(2π3,π)

6.2 为了得到函数y=sin(2x-π3),x∈［π3,2π3］，只需(A).

A.将函数y=sin2x,x∈［π6,π2］的图像上所有点向右平移π6个单位

B.将函数y=sin(x-π3),x∈［π6,π3］的图像上所有点横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变

C.将函数y=sin(x-π3),x∈［π6,π3］的图像上所有点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

D.将函数y=3sin(2x-π3),x∈［π,2π］的图像上所有点纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变

6.3 关于函数f(x)=4sin(2x+π3),x∈［-2π,2π］，有下列命题：

①将函数f(x)的图像所有点向上或向下平移π3个单位，其定义域不发生变化；

②将函数f(x)的图像所有点向左或向右平移π3个单位，其定义域不发生变化；

③将函数f(x)的图像所有点向横坐标伸长或缩短到原来的2倍(纵坐标不变)，其定义域不发生变化；

④将函数f(x)的图像所有点向纵坐标伸长或缩短到原来的2倍(横坐标不变)，其定义域不发生变化；

⑤将函数f(x)的图像所有点向横坐标伸长或缩短到原来的2倍(纵坐标不变)，其定义域为［-π,π］.

以上命题正确的是 ①④⑤ .

上述习题只要应用本文的一些探究结论，便可迎刃而解，在此不再详解.

7.习题学习的感悟

通过对这一道课本习题的深入学习，笔者对习题的背景与解法提出了个人见解，在学习之余新编了一类习题，应该说在学习之余自己也受益匪浅.

对于上述一类新编题，第一，题目的设计与课程评价目标相一致，命题切实体现高中新课程

理念，说明命题的科学性；第二，考查学生运用所学知识分析问题、解决问题的能力，突出了试题的能力要求；第三，试题的素材与解答对所有考生都具有公平 性，避免需要特殊背景知识和特殊答题方式.这说明上述新编题是一类具有很强的生命力、符合新课程理念的创新性试题.

新教材只是提供了学生学习活动的基本线索.教学活动中，教师应根据学生实际，充分发挥自己的主观能动性，创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，结合教学内容和学生实际进行拓展与创新，并提出了一些重要的研究问题，再创造性地解决问题.这顺应了新课标理念，也符合新课标精神.

创新性学习是指引导学生主动、有效地参与学习，在动态中探索未知，独立地发现问题，寻找有创意的解决问题的方法的学习.作为一名数学教育工作者，应积极主动在课堂教学、习题解答、听课评课中去发现问题，并寻求创新性解法，对素材进行提炼、总结，相信一定会有所收获.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文