应用导数求函数区间最值

唐舜生

函数的区间最值是指函数在某个特定的区间上的最大(小)值，这类题往往含有参数，解答时常用到分类讨论与数形结合的思想.导数的引入拓展了高考数学命题的范围，摆脱了对二次函数的依赖，借助导数求高次函数、指数函数、对数函数、三角函数等的区间最值，已成为近几年高考的热点和难点.函数的区间最值问题可分为以下四类，下面举例说明各种类型题的解法.

一、定函数在定区间上的最值

函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定函数在定区间上的最值”.这类题不含参数，不需要对参数的变化范围进行分类讨论，因此比较简单，只要求出极值与区间端点的函数值，进行比较即得函数的最大(小)值.

例1 求函数y=2x-x2x+1的最大值.

解：函数的定义域为［0，2］，令y′=1-2x(x+1)22x-x2=0得x=12，∵f(0)=0,f(2)=0,f(12)=33,∴函数y的最大值是33.

点评：求函数最值时，注意先求函数的定义域.

例2 求函数f(x)=cos3x+sin2x-cosx的最小值.

解：由f(x)=cos3x+1-cos2x-cosx，令t=cosx,则t∈［-1，1］，f(x)=g(t)=t3-t2-t+1,令g′(t)=3t2-2t-1=0得t1=-13,t2=1,∵g(1)=0,g(-1)=0,g(-13)=3227,∴函数f(x)的最小值是0.

点评：本题以三角函数知识为载体，先通过换元，将三角函数问题转化为三次函数在区间［-1，1］上的最小值问题.

二、动函数在定区间上的最值

函数随参数a的变化而变化，即其图像是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动函数在定区间上的最值”.根据函数极值点与区间的位置关系，需要分三种情形讨论：①函数的极值点在这个区间的左边；②函数的极值点在这个区间的右边；③函数的极值点在这个区间内.然后判断函数在这个区间上的单调性，得到函数的最大(小)值.

例3 已知函数f(x)=2ax-1x2,x∈(0，1］，求f(x)在区间(0，1］上的最大值.

解：(1)当a=0时，f(x)=-1x2,

∴f(x)max=-1;

(2)当a≠0时，令f′(x)=2a+2x3=2(ax3+1)x3=0,得x=3-1a.

(i)当3-1a<0，即a>0时，由x∈(0,1］，得f

′(x)>0.∴函数f(x)在(0，1］上单调递增，f(x)max=f(1)=2a-1;

(ii)当3-1a>0，即-10,∴函数f(x)在(0，1］上单调递增，f(x)max=f(1)=2a-1;

(iii)当0<3-1a≤1，即a≤-1时，当00;当3-1a

综上知：f(x)max=2a-1(a≥-1),

-33a2(a<-1).

例4 已知函数f(x)=ln(x+a)-x(a>0),求f(x)在［0，2］上的最小值.

解：令f′(x)=1x+a-1=-x+a-1x+a=0,得x=1-a，∵0≤x≤2,又a>0,则x+a>0恒成立.

(i)当1-a≥2时，得a≤-1，与题设a>0矛盾；

(ii)当1-a≤0，即a≥1时，f′(x)≤0在［0，2］恒成立，∴f(x)在［0，2］上单调递减，f(x)min=f(2)=ln(a+2)-2.

(iii)当0<1-a<2时，即-10;x∈(1-a,2］时，f′(x)<0.∴当x=1-a时，f(x)取极大值，最小值只能产生于f(0)或f(2)，而f(0)-f(2)=lne

2a-ln(2+a).

当2e2-1f(2),f(x)min=f(2);当0

综上知：当a>2e+2-1时，f(x){min}=ln(2+a)-2;当0

点评：例4中若注意到a≥-1，x∈(0，1］时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，

则解法更简便.

三、定函数在动区间上的最值

函数是确定的，但它的定义域区间是随参数t而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”.根据区间与函数极值点的位置关系，需要分三种情形讨论：①这个区间在极值点的左边；②这个区间包含极值点；③这个区间在极值点的右边.然后判断函数f(x)在这个区间上的单调性，得到函数的最大(小)值.

例5 已知函数f(x)=x3-3x2+2,求f(x)在区间［0,t］(0

大值和最小值.

解：令f′(x)=3x2-6x=0，得x=0或x=2.

(1)当0

(2)当2

0,∴f(x)max=f(0)=2.

点评：本题是由区间的运动变化，引起此区间上对应的曲线段的变化，从而使问题在不同情况下有不同的解.

四、动函数在动区间上的最值

函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动函数在动区间上的最值”.同样要根据区间与函数极值点的相对位置关系，分三种情况讨论求解.

例6 从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x的正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数t(t>0),试问当x取何值时，容量V有最大值.

解：∵V=x(2a-2x)2=4(a-x)2x.依题意得：x>0;2a-2x>0;x2a-2x≤t,∴0

V′=4(x-a)(3x-a),令V′=0，得x=a3,x=a(舍).

(1)当a3≤2at1+2t,即t≥14时，∵00;a3

(2)当a3>2at1+2t，即00恒成立，∵V(x)为增函数，∴当x=2at1+2t时，V有最大值8a2t(1+2t)2.

应用导数求函数的区间最大值，具有普适性.一般步骤是：求函数极值点——讨论极值点与区间的位置关系——判断函数在区间上的单调性——联想函数在区间上的大致图像——直观

得出结论.按此程序解决函数区间最值问题，思路清晰，能够“以不变应万变.”

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文