数学归纳法和作差（商）比较法证明不等式的意义

关　忠

关于与正整数n有关的不等式，肯定可用数学归纳法证明和作差(商)证明，也可用放缩法证明，数学归纳法证明和作差(商)证明好想也好做，放缩法证明好做不好想.

题目 当n≥3且n∈N*时，求证：

2e﹏-2猲!<玪n3•玪n4•玪n5•…•玪n玭

题目是某市2008级第二次高考适应性考试理22(Ⅲ)，参考答案及评分意见用的是放缩法，为便于与数学归纳法比较，先抄录于后：

证明：令f(x)=玪n玿x,则f′(x)=1-玪n玿x2,当x>e时，f′(x)<0,∴f(x)在(e,+∞)上为减函数，∴当x>e时，f(x)e时，g′(x)>0,∴g(x)在(e,+∞)上为增函数，∴当x>e时，g(x)>ゞ(e)，即x玪n玿>e，即玪n玿>ex,∴当x>e时，ex<玪n玿

上述证明显然是放缩法，不好想，下面用数学归纳法和作差(商)比较法证明.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”