勾股定理典型题举例

朱元生

勾股定理及其逆定理是初中数学中极为重要的定理，揭示了直角三角形三边之间的数量关系，也给出了直角三角形的判别方法，有着十分广泛的应用.现就其在解题中的常见应用举例如下.

例1如图1，已知在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，试求BC的长.

解析：延长AD到E，使DE=AD，连接BE，如图2，则AE=2AD=12.由SAS易得到 △DBE≌△DCA.

所以BE=AC=13.在△ABE中，AB=5，AE=12，BE=13，由 52+122=132，即AB2+AE2=BE2，根据勾股定理的逆定理知△ABE为直角三角形，∠BAE=90°.在Rt△ABD中，BD===.所以BC=2BD=2.

想一想：三角形中若给出中线，常设法将中线延长一倍，构造全等三角形.同时，这样做也可把分散的条件集中在一个三角形中.

例2如图3，四边形ABCD中，已知AB⊥BC，AB=BC=4，AD=2，CD=6，试求∠BAD的大小.

解析：连接AC，如图4.因为AB⊥BC，AB=BC，所以∠BAC=45°.在Rt△ABC中，由勾股定理得到AC2=32.在△ACD中，AD=2，CD=6，AC2=32，由AD2+AC2=22+32=36=CD2，根据勾股定理的逆定理，可知△ACD为直角三角形，∠DAC=90°.所以∠BAD=∠BAC +∠DAC =45°+90°=135°.

想一想：对那些仅给出边长的题目，往往需要利用勾股定理的逆定理判断出一些直角.

例3如图5，在△ABC中，AB=15，AC=13，D为边BC上一点，且AD=12，BD=9.试求△ABC的面积.

解析：在△ABD中，AB=15，BD=9，AD=12，由92+122=152，即BD2+AD2=AB2，根据勾股定理的逆定理知△ABD为直角三角形.则△ACD也为直角三角形.在Rt△ACD中，CD===5，所以S△ABC=（BD+CD）·AD=84.

想一想：若去掉“如图5”，将“D为边BC上一点”改为“D为直线BC上一点”，则△ABC的面积又有何变化？有没有钝角三角形的情况？

例4直角三角形的一条直角边长为7，另两边长均为自然数，则此三角形周长是（）.

A. 49B. 50C. 56D. 不确定

解析：直角三角形的三边长应满足勾股定理，而题设条件中仅知一条边的长，这给解题带来了一定的困难.但由于另两条边既满足勾股定理，又均为自然数，故可以构造不定方程，求出直角三角形另外两边的长，三角形的周长也就可以求出了.

设直角三角形的斜边长为x，另一条直角边长为y，则x2-y2=72，即（x+y）（x-y）=49.由x+y>x-y，又x+y、x-y都为自然数，由（x+y）（x-y）=49×1，得到x+y=49，x-y=1.解得x=25，y=24.

所以三角形三边长分别为7、24、25，则三角形的周长为56，故应选C.

想一想：当题目中出现不定方程时，常常要将方程两边分解因式和分解因数，得出有关的方程组.分解因式后，要注意分析各个因式的大小关系，以简化判断过程.

例5如图6，在△ABC中，AD是高，且AD2=BD·CD，试判断△ABC的形状.

解析：在△ABC中，AD是高，所以AB2=BD2+AD2，AC2=AD2+CD2，则AB2+AC2=BD2+2AD2+CD2.而AD2=BD·CD，所以AB2+AC2=BD2+2BD·CD+CD2=（BD+CD）2=BC2.

根据勾股定理的逆定理可知，△ABC为直角三角形.

想一想：本题还可通过把乘积BD·CD化为“和”的形式来解.BD·CD=[（BD+CD）2-BD2-CD2]=（BC2-BD2-CD2）.同学们不妨试试.

例6如图7，在正方形ABCD中，E为边AB的中点，AF∶FD=1∶3，求证：CE⊥EF.

解析：连接FC，如图8.设AF=a，则FD=3a，AE=EB=（a+3a）=2a，BC=CD=4a.在Rt△AEF，Rt△BCE，Rt△CDF中：

EF2=AE2+AF2=（2a）2+a2=5a2；EC2=BE2+BC2=（2a）2+（4a）2=20a2；CF2=FD2+CD2=（3a）2+（4a）2=25a2.由5a2+20a2=25a2，即 EF2+EC2=CF2，根据勾股定理的逆定理，可得△CEF为直角三角形，∠CEF=90°，所以CE⊥EF.

想一想：证明两线垂直，首先要想到利用勾股定理逆定理构造直角三角形.本题也可以延长FE与CB，使它们交于G.则△AEF≌△BEG（ASA）.BG=AF.可计算出EG.在△EGC中利用勾股定理逆定理证出EG⊥CE.

例7如图9，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC上一点.求证：BD2+DC2=2AD2.

解析：要证明的式子与勾股定理相似，可考虑将其变形为BD2+DC2=（AD）2，由此可联想到以BD、DC、AD为边构造一个直角三角形.过点C作CE⊥BC，并截取CE=BD.连接AE、DE，如图10，则∠ACE=∠ABD=45°.又AB=AC，BD=CE，所以△ABD≌△ACE，从而∠BAD=∠CAE，AD=AE，则∠DAE=∠DAC+∠CAE=∠DAC+∠BAD=∠BAC=90°.所以△ADE是等腰直角三角形，则DE2=2AD2.

在Rt△CDE中，CE2+DC2=DE2，而CE=BD，DE2=2AD2，所以BD2+DC2=2AD2.

想一想：本题也可以这样想，把△ABD绕A点逆时针方向旋转90°到△ACE.本题还有一个更简单的解法：过A点作AF⊥BC于F，设AF=x，DF=y，则BF=CF=x，BD2=（x-y）2，DC2=（x+y）2，AD2=x2+y2.

下面有几道练习题，同学们不妨试一试：

1. 如图11，在△ABC中，∠C=135°，a=，b=2，求c.

2. 如图12，点P是等边△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB.

3. 如图13，四边形ABCD中，已知AB⊥BC，AB=3，BC=4，CD=12，DA=13.求四边形ABCD的面积.

4. 在△ABC中，BC=2n+1，AC=2n2+2n，AB=2n2+2n+1，n为正数，试判断△ABC的形状.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文