一元二次方程错例剖析

罗　成

一、忽视一元二次方程的定义

例1 有下列关于x的方程：

① ax2+bx+c=0；② 2x2+ =3；③ 2x2-x-5=0；④ x2-x+2x3.

其中一定是一元二次方程的个数是（）.

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

错解：选B.

剖析： 若一个方程是一元二次方程，必须满足三个条件：是整式方程；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2.忽视任何一个条件都会导致错解.对于方程①，因为没有a≠0这个条件，所以不一定是一元二次方程；方程②不是整式方程；④不是方程，是代数式；只有③是一元二次方程.正确答案是A.

二、忽视a≠0这一条件

例2 如果关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x+m2-4=0有一个根是0，求m的值.

错解：把x=0代入（m-2）x2+3x+m2-4=0，得m2-4=0，解得m=±2.

所以m的值为2或-2.

剖析： 在求字母系数一元二次方程中某一字母的值时，一定要考虑满足一元二次方程的二次项系数不能等于0这一条件.

正解：把x=0代入（m-2）x2+3x+m2-4=0，得m2-4=0，m=±2.

∵方程（m-2）x2+3x+m2-4=0是关于x的一元二次方程，

∴m-2≠0，即m≠2.所以m=-2.

三、两边约去含有未知数的代数式

例3 解方程3（2x-7）=2x（2x-7）.

错解：方程两边同时约掉（2x-7），得3=2x，x= .

剖析： 在方程的两边同时除以含有未知数的代数式时，因为我们不知道这个代数式的值是否会为0，因此可能失根.

正解：原方程可化为3（2x-7）-2x（2x-7）=0.

整理，得（2x-7）（3-2x）=0.解得x1= ，x2= .

四、思考不全面

例4 若关于x的方程mx2-4x+4=0有实数根，求m的取值范围.

错解：因方程有实数根，故b2-4ac≥0.

∴（-4）2-16m≥0.解得m≤1.

由m≠0，可知m≤1且m≠0.

剖析： 当m=0时，方程为一元一次方程，同样也有实数根.

正解：当m≠0时，mx2-4x+4=0是一元二次方程，解法如错解.

当m=0时，mx2-4x+4=0是一元一次方程，此时方程有解x=1.

综上所述：当m≤1时，方程有实数根.

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