利用变式训练 促进能力提高

2008-09-27 09:18刘志凤
中学生数理化·中考版 2008年7期
关键词:三角板直角直角三角形

刘志凤

由中招命题人员巧妙设计、精心推敲而成的中招试题,以其精准、新颖的特点受到师生们的青睐,若能抓住一些典型题目,深入研究,多进行变式训练,将能使学生更深刻、更系统地掌握数学知识,培养学生运用数学思想方法分析问题、解决问题的能力.现举例探讨如下.

例题 (2006年德州市中考题)两个全等的含30°和60°角的三角板ADE和三角板ABC如图1所示放置,E,A,C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC.试判断△EMC的形状,并说明理由.

解:△EMC的形状是等腰直角三角形.证明如下.

连接AM.由题意可得DE=AC,∠DAE+∠BAC=90°.

∴∠DAB=90°.

又∵DM=MB,所以MA= DB=DM,∠MAD=∠MAB=45°.

∴∠MDE=∠MAC=105°,∠DMA=90°.

∴△EDM≌△CAM.

∴∠DME=∠AMC,EM=MC.

又∠DME+∠EMA=90°,故∠EMA+∠AMC=90°.

∴CM⊥EM.所以△EMC的形状是等腰直角三角形.

变式1 在图1中,连接AM得到图2.已知ME,MC分别交AD,AB于P,Q,连接PQ.

(1) 判断线段AM与线段BD的位置关系,并说明理由.

(2) 判断△PMQ的形状,并说明理由.

(3) 点D,E,A,M是否在同一个圆上?点B,C,A,M呢?

评析: 完成一道题目后,多问几个为什么,多观察、多思考,其意义将远远超过做题本身.

变式2 在图2中,令△EMC绕点M旋转,则通过对图形运动变化过程的探究,可顺利解决下面两例中招题.

1. (2006年聊城市)如图3,在等腰Rt△ABC中,P是斜边BC的中点,以P为顶点的直角的两边分别与边AB,AC交于点E,F,连接EF.当∠EPF绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合),△PEF也始终是等腰直角三角形,请你说明理由.

2. (2007年临沂市)如图4(1),已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF),将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.

(1) 在图4(1)中,DE交AB于M,DF交BC于N.

① 证明DM=DN;

② 在这一旋转过程中,直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN.请说明四边形DMBN的面积是否发生变化.若发生变化,请说明是如何变化的;若不发生变化,求出其面积.

(2) 继续旋转至如图4(2)的位置,延长AB交DE于M,延长BC交DF于N,DM=DN是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

(3) 继续旋转至如图4(3)的位置,延长FD交BC于N,延长ED交AB于M,DM=DN是否仍然成立?请写出结论,不用证明.

变式3 在例题中,令三角板BAC绕点A沿顺时针方向旋转(为简单起见,令旋转角不大于90°),如图5.

(1) ∠EM′C′的大小与∠EMC相比是否发生了变化?若发生了变化,说明如何变;若没有变,说明理由.

(2) 以D,E,A,M′为顶点的四边形能否成为矩形?若能,请说出旋转角;若不能,请说明理由.

评析: 运用运动变化思想,是这几年中考命题的主轴,我们应注意平时的训练.

变式4 如图6,将图1中三角板AED和ACB分别沿AD,AB翻折至△ADE′,△ABC′,连接ME′,MC′,试判断△ME′C′的形状,并说明理由.

变式5 将例题中条件“两个含30°角的三角板”改为“两个全等的任意直角三角形纸片”,其他条件不变,如图7.不妨令∠DAE≤45°,则变式1中的结论是否仍然成立?

评析: 这种放宽条件将结论推广的问题,也是近几年中考命题的一个重要方向.

变式6 如图8(1),直线l过等腰Rt△DAB的直角顶点A,过D,B分别作DE⊥l于E,BC⊥l于C.

(1) 试判断△DEA和△BCA是否全等,并说明理由.

(2) 当直线l绕点A沿逆时针方向,由图8(1)旋转到如图8(2)所示位置时,(1)中结论是否成立?为什么?

(3) 在(2)中,连接CD,BE,则在旋转过程中,以B,C,D,E为顶点的四边形能成为等腰梯形吗?为什么?

(4) 试说明在(2)的旋转过程中,DE2+BC2的值为定值.

评析: 由这道题我们可以看出,有些题目看似相互无关,实际是图形按一定规则演变的结果.做题时能看透这一点,会快速准确地解答.

综上可以看出,从题目的条件、结论、背景等方面入手,对原题加以改造创新,既有利于激发学生学习数学的兴趣,又使学生在观察探究中,进一步明晰问题的来龙去脉,优化知识结构,达到事半功倍的学习效果.

变式训练提示或答案

变式1 (1) 由AM是Rt△DAB斜边上的中线,可知AM垂直平分线段BD.

(2) △PMQ为等腰直角三角形.证∠PMQ=90°及△DMP≌△AMQ,可得MP=MQ.

(3) 取AD的中点O,则易证OE=OD=OA=OM.同理点B,C,A,M也共圆.

变式2 1. 证明方法同变式1的第(2)小题.

2. (1) ① 连接DB.证△BMD≌△CND或△ADM≌△BDN,可得DM=DN.

② 四边形DMBN的面积不发生变化.由①知S△BMD =S△CND .

∴S四边形DMBN =S△DBN +S△DMB =S△DBN +S△DNC =S△DBC = S△ABC = .

(2) DM=DN仍然成立,证明略.

(3) DM=DN仍成立.

变式3 (1) 在旋转过程中,始终有∠EM′C′=90°.由变式1中第(3)小题知M′,A,E,D四点共圆,∠ADE=∠AM′E.同理M′,A,C′,B′四点共圆,∠AM′C′=∠AB′C′,所以∠EM′C′=∠AM′E+∠AM′C′=∠ADE+∠AB′C′=90°.

(2)能.当旋转角为30°,即∠DAB′=120°时,易得∠EAM′=90°.又因∠DEA=90°,∠AM′D=90°,所以四边形DEAM′为矩形.

变式4 △ME′C′为等腰直角三角形,证△ME′D≌△MC′A可得.

变式5 结论仍成立.

变式6 (1) 全等,理由略.

(2) 成立.

(3) 不能.因DE∥BC,若DE=BC,则四边形BCDE为平行四边形,不是等腰梯形;若DE≠BC,由DC= ,BE= ,可知DC≠BE.

(4) 在旋转过程中,有DE2+BC2=DE2+AE2=AD2,由AD为定值,可知DE2+BC2为定值.

注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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