一元二次方程习题课讲义

2008-09-27 09:18毛玉忠
中学生数理化·中考版 2008年7期
关键词:工程队解方程一元二次方程

毛玉忠

纵观近年来全国各地中考试题,有关一元二次方程试题的考查主要有两类:一类是以直接的形式考查一元二次方程的解的问题;一类是以一元二次方程为解决问题的工具,主要反映在综合应用上.

一、一元二次方程的基本解法

类型1 因式分解法.

例1 解方程(2x2+3x)2-4(2x2+3x)-5=0.

解:将“2x2+3x”看成一个未知数,对方程左端分解因式.

原方程即(2x2+3x+1)(2x2+3x-5)=0.

由2x2+3x+1=0,得x1=-1,x2=- .

由2x2+3x-5=0,得x3=- ,x4=1.

故原方程的根为:x1=-1,x2=- ,x3=- ,x4=1.

类型2 配方法.

这类题目借助于配方,化方程为“x2=a(a>0)”的形式直接求解.

例2 解方程x2+ =2x- +1.

解:由于x2+ =x- 2+2,故原方程化为:x- 2-2x- +1=0.

即x- -12=0,所以x- -1=0.

去分母,得x2-x-1=0,配方,得x- 2= .

解得x- =± .故x1= ,x2= .

经检验,它们都是原方程的根.

类型3 公式法.

对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)而言,借助于配方,得

x+ 2= .

当b2-4ac>0时,x+ =± .

∴x1= ,x = .

当b2-4ac=0时,两根相等,且为x1=x2=- .

当b2-4ac<0时,无实数根.

例3 解方程x2+4x-1=0.

解:由a=1,b=4,c=-1,可得b2-4ac=20.

代入公式,得x= =-2± .

∴原方程的解为x1=-2- ,x2=-2+ .

例4 判断关于x的方程x2+3(m-1)x+2m2-4m+ =0的根的情况.

解:∵Δ=9(m-1)2-42m2-4m+ =m2-2m+2=(m-1)2+1,

∴对于任意的实数m,Δ>0.故方程存在两个不同的实数根.

类型4 借助于根与系数的关系构造方程求解.

如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,则满足

x1+x2=- ,x1x2= .

例5 已知x+y=5,xy=-6,求x,y的值.

解法1:由x+y=5,得y=5-x.代入xy=-6,得x(5-x)=-6.

整理,得x2-5x-6=0,解得x1=-1,x2=6.

∴x=-1,y=6, 或x=6,y=-1.

解法2:由于x+y=5,xy=-6,所以可以得到以x,y为根的一元二次方程z2-5z-6=0,可解得z1=-1,z2=6.

∴x=-1,y=6, 或x=6,y=-1.

二、一元二次方程的应用

类型1 解决实际应用问题的需要.

例6 有一张长方形的大型桌子,长为6 m,宽为3 m,有一块台布的面积是桌面面积的2倍,并且铺在桌面上时,各边垂下的长度相同.这块台布的长和宽各是多少?(精确到0.1 m)

解:设台布下垂长为x m,则台布的长为(6+2x) m,宽为(3+2x) m.

由题意可列方程(6+2x)(3+2x)=2×3×6.

整理,得2x2+9x-9=0.

∴x= = .

∴x1= (不合题意,舍去),x2= ≈0.84.

∴6+2x≈7.7(m),3+2x≈4.7(m).

答:台布的长约为7.7 m,宽约为4.7 m.

例7 A,B两地相距18 km.甲工程队要在A,B两地间铺设一条输送天然气的管道,乙工程队要在A,B两地间铺设一条输油管道,已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1 km,甲工程队提前3周开工,结果两队同时完成任务.求甲、乙两工程队每周各铺设多少千米管道.

解:设甲工程队每周铺设管道x km,则乙工程队每周铺设管道(x+1) km.

根据题意,得 - =3.解得x1=2,x2=-3.

经检验x1=2,x2=-3都是原方程的根,但x2=-3不符合题意,舍去.

∴x+1=3.

答:甲队每周铺设管道2 km,则乙队每周铺设3 km.

类型2 解决其他数学问题的需要.

例8 如图,已知AB是半圆O的直径,点C是半圆上的一点,过点C作CD⊥AB于D,AC=2cm,AD∶DB=4∶1,求AD的长.

解:设AD=4x,则DB=x.

由相交弦定理,得CD2=AD•DB.即CD2=4x2.

在Rt△ADC中,AC2=AD2+CD2.

即(2 )2=(4x)2+4x2.解得x1= ,x2=- (舍去).

所以AD=4x=4 (cm).

注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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