一元二次方程习题课讲义

毛玉忠

纵观近年来全国各地中考试题，有关一元二次方程试题的考查主要有两类：一类是以直接的形式考查一元二次方程的解的问题；一类是以一元二次方程为解决问题的工具，主要反映在综合应用上.

一、一元二次方程的基本解法

类型1 因式分解法.

例1 解方程（2x2+3x）2-4（2x2+3x）-5=0.

解：将“2x2+3x”看成一个未知数，对方程左端分解因式.

原方程即（2x2+3x+1）（2x2+3x-5）=0.

由2x2+3x+1=0，得x1=-1，x2=- .

由2x2+3x-5=0，得x3=- ，x4=1.

故原方程的根为：x1=-1，x2=- ，x3=- ，x4=1.

类型2 配方法.

这类题目借助于配方，化方程为“x2=a（a>0）”的形式直接求解.

例2 解方程x2+ =2x- +1.

解：由于x2+ =x- 2+2，故原方程化为：x- 2-2x- +1=0.

即x- -12=0，所以x- -1=0.

去分母，得x2-x-1=0，配方，得x- 2= .

解得x- =± .故x1= ，x2= .

经检验，它们都是原方程的根.

类型3 公式法.

对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）而言，借助于配方，得

x+ 2= .

当b2-4ac>0时，x+ =± .

∴x1= ，x = .

当b2-4ac=0时，两根相等，且为x1=x2=- .

当b2-4ac<0时，无实数根.

例3 解方程x2+4x-1=0.

解：由a=1，b=4，c=-1，可得b2-4ac=20.

代入公式，得x= =-2± .

∴原方程的解为x1=-2- ，x2=-2+ .

例4 判断关于x的方程x2+3（m-1）x+2m2-4m+ =0的根的情况.

解：∵Δ=9（m-1）2-42m2-4m+ =m2-2m+2=（m-1）2+1，

∴对于任意的实数m，Δ>0.故方程存在两个不同的实数根.

类型4 借助于根与系数的关系构造方程求解.

如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则满足

x1+x2=- ，x1x2= .

例5 已知x+y=5，xy=-6，求x，y的值.

解法1：由x+y=5，得y=5-x.代入xy=-6，得x（5-x）=-6.

整理，得x2-5x-6=0，解得x1=-1，x2=6.

∴x=-1，y=6， 或x=6，y=-1.

解法2：由于x+y=5，xy=-6，所以可以得到以x，y为根的一元二次方程z2-5z-6=0，可解得z1=-1，z2=6.

∴x=-1，y=6， 或x=6，y=-1.

二、一元二次方程的应用

类型1 解决实际应用问题的需要.

例6 有一张长方形的大型桌子，长为6 m，宽为3 m，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同.这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1 m）

解：设台布下垂长为x m，则台布的长为（6+2x） m，宽为（3+2x） m.

由题意可列方程（6+2x）（3+2x）=2×3×6.

整理，得2x2+9x-9=0.

∴x= = .

∴x1= （不合题意，舍去），x2= ≈0.84.

∴6+2x≈7.7（m），3+2x≈4.7（m）.

答：台布的长约为7.7 m，宽约为4.7 m.

例7 A，B两地相距18 km.甲工程队要在A，B两地间铺设一条输送天然气的管道，乙工程队要在A，B两地间铺设一条输油管道，已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1 km，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务.求甲、乙两工程队每周各铺设多少千米管道.

解：设甲工程队每周铺设管道x km，则乙工程队每周铺设管道（x+1） km.

根据题意，得 - =3.解得x1=2，x2=-3.

经检验x1=2，x２=-3都是原方程的根，但x２=-3不符合题意，舍去.

∴x+1=3.

答：甲队每周铺设管道2 km，则乙队每周铺设3 km.

类型2 解决其他数学问题的需要.

例8 如图，已知AB是半圆O的直径，点C是半圆上的一点，过点C作CD⊥AB于D，AC=2cm，AD∶DB=4∶1，求AD的长.

解：设AD=4x，则DB=x.

由相交弦定理，得CD2=AD•DB.即CD2=4x2.

在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2.

即（2 ）2=（4x）2+4x2.解得x1= ，x2=- （舍去）.

所以AD=4x=4 （cm）.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”