一元二次方程基本题型展示

姜强柱

题型1一元二次方程的概念问题

例1 关于x的方程（m－ ）xm2-1－x+3=0是一元二次方程，则m的值为.

解：根据一元二次方程的定义，得m2-1=2，m- ≠0.解之，得m=± ，m≠ .

所以m=- .

点评： 本题应注意两点：① 未知数的最高次数是2；② 二次项系数不能为0.

题型2一元二次方程的解法问题

解一元二次方程时，首先考虑用因式分解法，这种方法最简捷；其次考虑用求根公式法，这种方法是万能的，它能解所有的一元二次方程；再次考虑用配方法，因为这种方法较为复杂.如果方程可以直接开平方，就用直接开平方法.

例2 已知关于x的方程2x2-ax-a2=0的一个根为1，求另一个根.

解：把1代入方程，得2-a-a2=0，即a2+a-2=0.

分解因式，得（a+2）（a-1）=0，所以a=-2或a=1.

当a=-2时，原方程为x2+x-2=0.

解得x1=1，x2=-2，即另一个根为-2.

当a=1时，原方程为2x2-x-1=0.解得x1=1，x2=- .即另一个根为- .故原方程的另一个根为-2或- .

例3 已知（x2+y2）2-y2=x2+6，求x2+y2的值.

解：原方程可化为（x2+y2）2-（x2+y2）-6=0.

分解因式，可得（x2+y2+2）（x2+y2-3）=0.

因x2+y2+2≠0，故x2+y2-3=0，即x2+y2=3.

点评： 一个方程两个未知数，想求出x，y的值后，再求x2+y2的值是不可能的.故我们可以把x2+y2看成一个整体元，将方程化为关于x2+y2的一元二次方程，通过解方程达到求值的目的.

题型3一元二次方程根的判别式问题

一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac，只要知道它的值，不需要解方程便能判断方程根的情况.另外，它在解含有参数的一元二次方程中起着限制作用，即参数的取值要确保方程有实数根.

例4 已知关于x的方程mx2-（2m+1）x+m+3=0.

（1） m取何值时方程有两个不相等的实数根？

（2） m取何值时方程有两个相等的实数根？

（3） m取何值时方程没有实数根？

解：Δ=［-（2m+1）］2－4m（m+3）=-8m+1.

（1） 当-8m+1＞0且m≠0，即m＜ 且m≠0时，方程有两个不相等的实数根.

（2） 当-8m+1=0且m≠0，即m= 时，方程有两个相等的实数根.

（3 ）当-8m+1＜0且m≠0，即m＞ 时，方程没有实数根.

点评： 这类问题的一般解法是：首先计算Δ，然后根据题设列出不等式或方程，解方程或不等式求出参数的值或取值范围；当二次项系数含有参数时，还要注意二次项系数不能为零.

例5 已知关于x的方程x2+2（2-m）x+3-6m=0，求证：无论m取什么实数，方程总有实数根.

证明：Δ=［2（2-m）］2-4（3-6m）=4m2+8m+4=4（m+1）2.

∵无论m取什么实数，总有4（m+1）2≥0，即Δ≥0，

∴无论m取什么实数，方程总有实数根.

题型4一元二次方程根与系数的关系问题

一元二次方程根与系数的关系，也是中考的重点内容，与它有关的代数式计算变化多样，要引起重视.

例6 已知方程x2-5x+7=0的两根为x1，x2，求下列代数式的值：

（1） （x1-1）（x2-1）；（2）+ ；（3）+ .

解：由根与系数的关系，得x1+x2=5，x1x2=7.

（1） （x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1=7-5+1=3.

（2）+ = = .

（3）+ =（x1+x2）2-2x1x2=52-2×7=11.

点评： 运用根与系数的关系求参数的值时，所求参数的值一定要保证方程有实数根.因此，根与系数的关系要与判别式Δ≥0结合起来用.

题型5一元二次方程的应用问题

列一元二次方程解应用题，关键是审清题意，发现题目中的等量关系，并将其“译”成数学式子.一般步骤是：① 审题，明确已知与未知；② 设未知数，可直接设或者间接设；③ 列方程，把等量关系转化为方程；④ 解方程，检验后写出答语.

例7 一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大3，百位上的数字等于个位上数字的平方.若这个三位数比它的个位上的数字与十位上的数字之积的25倍大202，求这个三位数.

解：设个位数字为x，则十位上的数字为x+3，百位上的数字为x2.

由题意，得100x2+10（x+3）+x=25x（x+3）+202.

整理，得75x2-64x-172=0. 解得x1=2，x2=- （不合题意，舍去）.

∴x+3=5，x2=4.这个三位数是452.

例8 某农具厂今年1月份生产一批甲、乙两种型号的新式农具，其中乙型农具16台.从2月份起，甲型农具每月增产10台，乙型农具按相同的增长率逐月递增.又知2月份甲、乙两种型号农具的产量之比为3∶2，3月份两种型号的农具产量之和为65台.求乙型农具每月的增长率和甲型农具1月份的产量.

分析： 本题要求的有两个未知数，间接的未知数有多个，但2月份的产量起承上启下的作用，因此可以设2月份甲型农具的产量为3x台，见下表.

解：设2月份甲型号农具的产量为3x台.

由题意，得（3x+10）+1+ •2x=65.

整理，得x2＋12x－220＝0. 解得x1＝10，x2＝-22（不合题意，舍去）.

∴ ×100％＝25％，3x-10＝20.

答：乙型农具每月的增长率为25％，甲型农具1月份的产量为20台.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”