一元二次方程基本题型展示

2008-09-27 09:18姜强柱
中学生数理化·中考版 2008年7期
关键词:解方程农具三位数

姜强柱

题型1一元二次方程的概念问题

例1 关于x的方程(m- )xm2-1-x+3=0是一元二次方程,则m的值为.

解:根据一元二次方程的定义,得m2-1=2,m- ≠0.解之,得m=± ,m≠ .

所以m=- .

点评: 本题应注意两点:① 未知数的最高次数是2;② 二次项系数不能为0.

题型2一元二次方程的解法问题

解一元二次方程时,首先考虑用因式分解法,这种方法最简捷;其次考虑用求根公式法,这种方法是万能的,它能解所有的一元二次方程;再次考虑用配方法,因为这种方法较为复杂.如果方程可以直接开平方,就用直接开平方法.

例2 已知关于x的方程2x2-ax-a2=0的一个根为1,求另一个根.

解:把1代入方程,得2-a-a2=0,即a2+a-2=0.

分解因式,得(a+2)(a-1)=0,所以a=-2或a=1.

当a=-2时,原方程为x2+x-2=0.

解得x1=1,x2=-2,即另一个根为-2.

当a=1时,原方程为2x2-x-1=0.解得x1=1,x2=- .即另一个根为- .故原方程的另一个根为-2或- .

例3 已知(x2+y2)2-y2=x2+6,求x2+y2的值.

解:原方程可化为(x2+y2)2-(x2+y2)-6=0.

分解因式,可得(x2+y2+2)(x2+y2-3)=0.

因x2+y2+2≠0,故x2+y2-3=0,即x2+y2=3.

点评: 一个方程两个未知数,想求出x,y的值后,再求x2+y2的值是不可能的.故我们可以把x2+y2看成一个整体元,将方程化为关于x2+y2的一元二次方程,通过解方程达到求值的目的.

题型3一元二次方程根的判别式问题

一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac,只要知道它的值,不需要解方程便能判断方程根的情况.另外,它在解含有参数的一元二次方程中起着限制作用,即参数的取值要确保方程有实数根.

例4 已知关于x的方程mx2-(2m+1)x+m+3=0.

(1) m取何值时方程有两个不相等的实数根?

(2) m取何值时方程有两个相等的实数根?

(3) m取何值时方程没有实数根?

解:Δ=[-(2m+1)]2-4m(m+3)=-8m+1.

(1) 当-8m+1>0且m≠0,即m< 且m≠0时,方程有两个不相等的实数根.

(2) 当-8m+1=0且m≠0,即m= 时,方程有两个相等的实数根.

(3 )当-8m+1<0且m≠0,即m> 时,方程没有实数根.

点评: 这类问题的一般解法是:首先计算Δ,然后根据题设列出不等式或方程,解方程或不等式求出参数的值或取值范围;当二次项系数含有参数时,还要注意二次项系数不能为零.

例5 已知关于x的方程x2+2(2-m)x+3-6m=0,求证:无论m取什么实数,方程总有实数根.

证明:Δ=[2(2-m)]2-4(3-6m)=4m2+8m+4=4(m+1)2.

∵无论m取什么实数,总有4(m+1)2≥0,即Δ≥0,

∴无论m取什么实数,方程总有实数根.

题型4一元二次方程根与系数的关系问题

一元二次方程根与系数的关系,也是中考的重点内容,与它有关的代数式计算变化多样,要引起重视.

例6 已知方程x2-5x+7=0的两根为x1,x2,求下列代数式的值:

(1) (x1-1)(x2-1);(2)+ ;(3)+ .

解:由根与系数的关系,得x1+x2=5,x1x2=7.

(1) (x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=7-5+1=3.

(2)+ = = .

(3)+ =(x1+x2)2-2x1x2=52-2×7=11.

点评: 运用根与系数的关系求参数的值时,所求参数的值一定要保证方程有实数根.因此,根与系数的关系要与判别式Δ≥0结合起来用.

题型5一元二次方程的应用问题

列一元二次方程解应用题,关键是审清题意,发现题目中的等量关系,并将其“译”成数学式子.一般步骤是:① 审题,明确已知与未知;② 设未知数,可直接设或者间接设;③ 列方程,把等量关系转化为方程;④ 解方程,检验后写出答语.

例7 一个三位数,十位上的数字比个位上的数字大3,百位上的数字等于个位上数字的平方.若这个三位数比它的个位上的数字与十位上的数字之积的25倍大202,求这个三位数.

解:设个位数字为x,则十位上的数字为x+3,百位上的数字为x2.

由题意,得100x2+10(x+3)+x=25x(x+3)+202.

整理,得75x2-64x-172=0. 解得x1=2,x2=- (不合题意,舍去).

∴x+3=5,x2=4.这个三位数是452.

例8 某农具厂今年1月份生产一批甲、乙两种型号的新式农具,其中乙型农具16台.从2月份起,甲型农具每月增产10台,乙型农具按相同的增长率逐月递增.又知2月份甲、乙两种型号农具的产量之比为3∶2,3月份两种型号的农具产量之和为65台.求乙型农具每月的增长率和甲型农具1月份的产量.

分析: 本题要求的有两个未知数,间接的未知数有多个,但2月份的产量起承上启下的作用,因此可以设2月份甲型农具的产量为3x台,见下表.

解:设2月份甲型号农具的产量为3x台.

由题意,得(3x+10)+1+ •2x=65.

整理,得x2+12x-220=0. 解得x1=10,x2=-22(不合题意,舍去).

∴ ×100%=25%,3x-10=20.

答:乙型农具每月的增长率为25%,甲型农具1月份的产量为20台.

注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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