一道“费尔马点”姊妹题的探究

费尔马点——就是在三角形内或边界上到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.

其结论是：若三角形顶角不超过120°，则“费尔马点”就是对各边的张角都是120°的点.若三角形一个顶角等于或大于120°，则“费尔马点”就是最大的内角的顶点.

下面给出一道“费尔马点”的姊妹题：

是非明点——就是在三角形内或边界上到三角形三边距离之和最小(大）的点.

对“是非明点”的求解，现作如下探究：

不失一般性，假设A、B均为锐角，AB=c，以A点为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系，如图1所示.设P(x,y)为△ABC内或边界上的一动点.

由图象2可以看出，在斜率为0的平行直线族中，当经过顶点C点时，U取得最小值，当与线段AB重合时，U取得最大值.

其几何意义为：当△ABC是顶角大于底角的等腰三角形时，使U取得最小值的“是非明点”P是三角形顶角的顶点；使U取得最大值的“是非明点”P是三角形底边上的任意点.

(3）若A=B>C,即△ABC为顶角小于底角的等腰三角形时，此时A=B>π3,因此-(2cosB-1)>0.U(x,y)=-(2cosB-1)·y+c·sinB

由图象3可以看出，在斜率为0的平行直线族中，当经过顶点C点时U取得最大值，当与线段AB重合时U取得最小值.

其几何意义为：当△ABC是顶角小于底角的等腰三角形时，使U取得最小值的“是非明点”P是三角形底边上的任意点；使U取得最大值的“是非明点”P是三角形顶角的顶点.

下面再对A≠B时分两类情况讨论求解：

由图象5可以看出，在斜率为k璘的平行直线族中，当经过可行域上的点C时，U取得最小值；当经过可行域上的点B时，U取得最大值.

其几何意义为：当△ABC是锐角三角形时，使U取得最小值的“是非明点”P是△ABC的最大角的顶点；使U取得最大值的“是非明点”P是△ABC的最小角的顶点.

综上所述，有关“是非明点”的结论是：

若△ABC是正三角形，则到三角形三边距离和最小(大）的“是非明点”是此三角形内及边界上的所有的点.

若△ABC是顶角大于底角的等腰三角形，则到三角形三边距离和最小的“是非明点”是顶角的顶点，到三角形三边距离和最大的“是非明点”是底边上的任意点；若△ABC是顶角小于底角的等腰三角形，则到三角形三边距离和最小的“是非明点”是底边上的任意点，到三角形三边距离和最大的“是非明点”是顶角的顶点.

若△ABC不是等腰三角形，则到三角形三边距离和最小的“是非明点”是三角形最大角的顶点；到三角形三边距离和最大的“是非明点”是三角形最小角的顶点.

简而言之，到三角形三边距离之和的最大值是过三角形最小角顶点的高；到三角形三边距离之和的最小值是过三角形最大角顶点的高.

另外，有关“费尔马点”、“是非明点”，还有几个问题请教读者：

①求在三角形内或边界上到三角形的三个顶点的距离之和最大的点？

②求在三角形外到三角形的三个顶点的距离之和最小的点？

③求在三角形外到三角形的三边的距离之和最小的点？

参考文献

[1] 高近.“费尔马点”介绍[J]《科学大众》,2000年第4期.

作者简介 斯飞鸣，1964年出生，1984年浙江师范大学数学专业毕业，2002年参加浙江师范大学研究生课程进修班学习，中学高级教师.现任东阳市中天高级中学副校长.任班主任20年，是“金华市千名优秀班主任培养工程”第一批培养人选,东阳市“十佳优秀班主任”.有多篇论文发表或获奖.

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