导函数和原函数在对称性上的联系

支　军

首先，我们来探究，原函数对称时，导函数的对称性如何？

若函数f(x)关于x=a对称且可导，则f(x)=f(2a-x).

根据复合函数导数的性质易得：

f ′(x)=-f ′(2a-x)，所以导函数f ′(x)关于点(a,0)对称.

同理可得：若函数f(x)关于点(h,k)对称且可导，则导函数f ′(x)关于直线x=h对称.

因此，我们得到如下结论：

定理1 若函数f(x)关于x=a对称且可导，则导函数f ′(x)关于点(a,0)对称.若函数f(x)关于点(h,k)对称且可导，则导函数f ′(x)关于直线x=h对称.

推论 若函数f(x)为偶函数且可导，则导函数f ′(x)为奇函数；若函数f(x)为奇函数且可导，则导函数f ′(x)为偶函数.

下面我们来探究导函数对称时，原函数的对称性如何.

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