数学家与一元一次方程

张海生

我国著名数学家苏步青教授去法国进行学术访问时，一位陪同他的数学家在电车里给苏教授出了几个题目.

法国数学家说：“苏教授您好！可以请教您一个问题吗？”苏步青教授说：“当然可以，您请说！”“是一个关于行程的问题.具体是这样的：A、B两地相距50 km.甲在A地，乙在B地，两人同时出发，相对而行，甲每小时走3 km，乙每小时走2 km，那么他俩几小时可以碰到呢？”

当然，这道题目对苏教授来说是很容易的，他很快便回答出来了.

“生活中关于行程问题有两大类，相遇和追及.您所问的正是一个很典型的相遇问题.用列一元一次方程的方法就能解决.您看，我们可以设甲、乙两人x h相遇，根据题意，得3x+2x=50，即x=10，因此，他们10 h能相遇.”

“听您一说，真是挺简单的.”法国数学家没想到这个中国人能这么快就回答了自己的问题.接着又提了一个问题：一只小狗每小时跑5 km，它同甲一起出发，碰到乙时它就返身往甲这边跑，碰到甲时它就返身往乙这边跑.小狗在甲、乙相遇时一共跑了多少千米？

你想，在国外，又是电车上，要用心算解决这个问题可有点难了，但是苏教授思考了一会儿，还是在下车前解决了这个问题.

苏教授不慌不忙地说：“显然，小狗往返奔跑，直到甲、乙相遇时才停下来，所以小狗跑的时间就是甲、乙相遇的时间，问题由此迎刃而解.可做如下解答：由上题知，他们10 h后相遇，所以狗也跑了10 h，共跑了5×10=50（km）.因此，小狗在甲、乙相遇时一共跑了50 km.”

“苏教授您真了不起，中国人真聪明.”法国数学家惊奇而佩服地说.

苏教授思考问题的方法，对同学们是否有所启迪？

聪明的同学们，上述条件不变，如果甲、乙、小狗都从A地出发去B地，同向而行，其速度皆不变，乙和小狗先出发3 h，甲再出发追赶乙，当甲追上乙时，小狗跑了多少千米？

变换情境后，变成了什么问题？问题的等量关系又是什么？小狗跑的路程=小狗跑的速度×小狗跑的时间，故问题的关系还是要求出小狗跑的时间，而这个时间就是甲追上乙的时间，可由以下追及问题中的等量关系求得.甲行走的速度×甲追上乙的时间=乙行走的速度×甲追上乙的时间+乙行走的速度×乙提前行走的时间.同学们，尝试解一下……

设甲追上乙用了x h，根据题意得3x=2x＋2×3，解得x=6，5×（6＋3）=45（km）.因此当甲追上乙时，小狗跑了45 km.

如果上述条件不变，甲、乙、小狗都从A地出发去B地，同向而行，其速度皆不变，而乙先走5 h，甲才和小狗一起出发，当小狗追上乙时，乙走了多少千米？到达目的地之前，甲还能追上乙吗？为什么？

显然，小狗和乙又形成了追及问题.设小狗追上乙的时间为x h，则有5x=2x＋5×2,解得x=10/3，5×10/3=50/3（km）；假设甲能追上乙，且是y h后追上.则3y=2×5＋2y，解得y=10；显然，到达目的地之前，甲能追上乙.因此，当小狗追上乙时，乙走了 50/3km；甲能追上乙.