月历中的一元一次方程

作者简介

周太军，男，1968年出生，本科学历，2005年被评为中学数学高级教师.1989年7月参加工作，一直在山东沂源县南麻中学任教.先后在新课程教师培训以及中考复习中多次执教县级公开课；在课件制作、说课等活动中获得县级一等奖；多次获得全国初中数学竞赛、山东省初中数学竞赛优秀指导奖；多次获得县中考送考一等奖；曾荣获县级优秀青年、优秀青年教师、优秀备课组长、骨干教师、教学能手等称号；现任校教务副主任，承担淄博市教育学会《自主学习》课题的研究.

例1小明编写了这样一道应用题：“我是4月出生的，我现在的岁数的2倍加上2，正好是我出生那月的总天数.你猜我有几岁？”请你求出小明现在的岁数.

分析：4月份有30天，利用“我现在的岁数的2倍加上2，正好是我出生那月的总天数”得到方程，即可求出小明现在的岁数.

解：设小明今年x岁，则2x+2=30，解得x=14.

答：小明今年14岁.

小结：根据当月天数与年龄的关系列出方程是解题的关键.

例2小明利用暑假外出旅游，小明说：“我出去玩了一周，这七天日期数之和与出门的该月份数加在一起正好是84.猜猜我是几号回来的.”

分析：通过观察月历可以知道，每行相邻的两个数，右边的一个数比左边的一个数大1.若设这七天中的某天是x号，这七天的日期数之和可以表示出来，另外设出月份来，便可得到方程，得到问题的答案.

解：设小明外出旅游这七天中最中间的日期是x（x为正整数）号，另外六天是（x-3）号，（x-2）号，（x-1）号，（x+1）号，（x+2）号，（x+3）号，他出门的月份是y（y为正整数，且1≤y≤12）月，则（x-3）+（x-2）+（x-1）+x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+y=84.

化简得7x+y=84，故x+y/7=12.因x，y是正整数且1≤y≤12，所以y=7，x=11.故x+3=14.

答：小明14号回来的.

小结：在处理月份、日期的问题时，要注意选择合适的日期设元.

例3月历上，爷爷生日那天的上、下、左、右4个日期数的和是76，你能说出爷爷的生日是几号吗？

分析：图1是某个月的月历.请观察该月历中每一列相邻的两个数，你发现了什么？然后再观察用虚线长方形框起来的九个数.若设爷爷的生日是x号，你能用含x的代数式表示另外的4个日期数吗？然后根据4个日期数的和是76列方程.

解：设爷爷的生日是x号，则爷爷生日那天的上、下、左、右4个日期数分别是x-7，x+7，x-1，x+1，根据题意得（x-7）+（x+7）+（x-1）+（x+1）=76，解得x=19.

答：爷爷的生日是19号.

小结：月历中每一列相邻的两个数，下边的一个数比上边的一个数大7.观察图1中用虚线长方形框起来的九个数可以发现：（1）中间一个数是所有九个数的平均值.（2）每一行、每一列、每一斜排，中间一个数都是它们的平均数.故例3可列方程：2x+2x=76.显然比上边的方程简单得多，由此可见认真观察和思考的重要性.

例4如果某年的5月份有五个星期五，它们日期数的和为80，那么这个月的4号是星期几？

分析：首先我们找出这五个日期数之间的关系，相邻的两个数从小到大依次增加7，再根据题意列出方程，进而推出4号是星期几.

解：设这五个日期数中最小的数为x-14，其余四个数分别为x-7，x，x+7，x+14，由题意得（x-14）+（x-7）+x+（x+7）+（x+14）=80.解得x=16.所以x-14=2.因为2号是星期五，所以4号是星期日.

小结：要清楚一列上相邻的五个日期数之间的关系：相邻的两个数相差7.

例5在月历中，若右倾斜的一列相邻三个日期数的和为45，请你求出中间的日期.

分析：图2是某个月的月历，请观察该月历中用虚线框起来的右倾斜的一列相邻的两个数（如10，18或18，26或11，19），你发现了什么？该月历中用虚线框起来的右倾斜的一列相邻的三个数（如10，18，26），你发现了什么？若设中间的一个日期为x号，其余的两个日期怎样表示？

解：设中间的日期为x号，则其余的两个日期数为x-8，x+8，根据题意得，（x-8）+x+(x+8)=45.解得x=15.即中间的日期是15号.

小结：图2中，可以通过观察得到：在月历中，左上方到右下方相邻两个数相差8.同样可以通过观察如图3某个月的月历（看用虚线框起来的数便于总结结论）得到：在月历中，右上方到左下方相邻两个数相差6.

例6你能在月历中圈出一列上相邻的三个日期数，使得它们的和是40吗？你知道这是为什么吗？

分析：观察一列上相邻的三个数的和的特征来回答；也可以求出这三个数，看看是否符合月历上的数的特征.

解：通过观察与研究，可知月历上一列上相邻的三个日期数的和是3的倍数，而40不是3的倍数，故不能.

月历中的规律非常有趣，尤其是由它拓展延伸的一些问题，同学们不妨找一些学习一下.