巧构相似三角形 妙证等积式

刘艳丽

在探求结论是等积式（或比例式）的几何题时，若能根据题设和图形特征，恰当添加辅助线，巧构相似三角形，往往会使得某些看似困难的几何题迅速找到解题途径，现略举几例解析如下．

例1在△ABC中，∠B=2∠C，试说明AC2=AB2＋AB·BC．

分析：可将结论变形为AC2=AB（AB+BC），故联想到构造一条长等于AB+BC的线段．如图1，延长AB至D，使BD=BC，连接CD，构成共边共角相似三角形，然后说明△ABC∽△ACD，从而使问题得以解决.

解：如图1，延长AB至D，使BD=BC，连接CD，则 ∠BDC=∠BCD．又∠ABC=∠BDC+∠BCD，所以 ∠ABC=2∠BDC．又∠ABC=2∠ACB，所以∠ACB=∠BDC．又∠CAB=∠DAC，所以△ABC∽△ACD，得到AB∶AC=AC∶AD，故AC²=AB·AD＝AB（AB＋BD）＝AB²＋AB·BD＝AB²＋AB·BC．

例2锐角等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，试说明BC²=2AC·CD．

分析：结论可变形为BC²=AC·（2CD），故联想到构造一条长等于2CD的线段，因此可延长CD至E，使DE=CD，连接BE，构成共边共角相似三角形，然后说明△ABC∽△BEC，从而使问题得解.

解：延长CD至E，使DE=CD，连接BE，如图2.由DE=CD，BD⊥AC，得△BCE是等腰三角形，所以∠C=∠E.又∠C=∠CBA，所以∠CBA=∠E.又∠ACB=∠BCE（公共角）,所以△ABC∽△BEC，则BC∶CE=AC∶BC，故BC2=AC·CE＝AC·（2CD）＝2AC·CD．

例3如图3，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．FG垂直平分AD，分别交AB、AD及BC的延长线于点F、E、G，试说明DG2＝CG·BG．

分析：由于DG、CG、BG三条线段在同一条直线上，它们之间的比例关系难以确定．可考虑将线段转移，等量代换．由于题设中有FG是AD的垂直平分线，所以AG=DG，从而连接AG，如图4，可构成共边共角相似三角形．通过△ABG∽△CAG，可使问题获解.

解：如图4，连接AG．因为FG垂直平分AD，所以DG=AG，且∠ADG=∠DAG．又因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC．又因为∠BAG=∠BAD+∠DAG，∠ACG=∠DAC+∠ADG，所以∠BAG=∠ACG．又∠BGA=∠AGC（公共角），所以△ABG∽△CAG，从而AG:CG=BG:AG，故AG2＝CG·BG，而DG=AG，所以DG2＝CG·BG．

例4在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC是对角线，试说明AC²＝AD²＋AB·CD．

分析：如图5，要证AC²＝AD²＋AB·CD，可在AC上适当选择一点P，则AC=AP+PC，若能得到AC·AP＝AB·CD，及AC·PC＝AD²，两式相加，即可获解．而要得到这两个等式，又要有△ABP∽△CAD及△ABC∽△BPC，因而需要构造相似三角形．以点B为顶点，BA为一边作∠ABP=∠CAD，交AC于点P，可使问题获解.

解：如图5，以点B为顶点，BA为一边作∠ABP=∠CAD，交AC于点P．由AB∥CD，得∠BAP=∠ACD，所以△ABP∽△CAD，则AB∶AC=AP∶CD，即AC·AP＝AB·CD ．①

由等腰梯形ABCD得∠DAB=∠CBA，而∠ABP=∠CAD，所以∠BAC=∠PBC．又∠ACB=∠BCP，所以△ABC∽△BPC．所以AC∶BC=BC∶PC，即AC·PC＝BC²．②

①+②，得 AC·AP＋AC·PC＝AB·CD＋BC²．而AC·AP＋AC·PC＝AC（AP＋PC）＝AC²，BC=AD，所以AC²＝AD²＋AB·CD．

例5如图6，△ABC和△ABD在公共边AB的同侧，AC和BD相交于点E，且∠C+∠D=180°，试说明 AB²＝AE·AC＋BE·BD．

分析：要证AB2＝AE·AC＋BE·BD，可在AB边上适当选择一点P，则AB=AP+BP.若能得到AE·AC＝AB·AP及BE·BD＝AB·BP，两式相加，即可获解.而要得到这两个等式，又需有△AEP∽△ABC及△EBP∽△ABD，因而联想到构造相似三角形.

解：以点E为顶点，AE为一边作∠AEP=∠ABC，交AB于点P，如图7.又∠EAP=∠BAC，得△AEP∽△ABC，从而AE∶AB=AP∶AC，即

AE·AC＝AB·AP ．①

因为∠APE+∠BPE=180°，∠C+∠D=180°，而∠APE=∠C，所以∠BPE=∠D．又∠EBP=∠ABD，所以△EBP∽△ABD，从而BE∶AB=BP∶BD，即BE·BD＝AB·BP ．②

①+②，得AE·AC＋BE·BD＝AB·AP＋AB·BP＝AB（AP＋BP）＝AB·AB＝AB²．

从以上几例可以看出，巧妙构造相似三角形，借助相似三角形的有关性质，可迅速找到解题途径.其解题思想就是：结论需要什么，就设法构造出什么．比如，构造出某角2倍的角，某边2倍的边，某种比例关系式等．