“相似形”中的几种常用数学思想

张同军　倪敬标

数学思想是数学知识的精髓．学习数学一定要注意数学思想方法的运用．相似图形中涉及的数学思想主要有以下几种．

一、化归与转化的思想

例1如图1，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O．OF⊥AC，垂足为O，交AB于点E，交CB的延长线于点F．求证：OB是OE与OF的比例中项．

解析：要证明OB是OE与OF的比例中项，就是证明OB2＝OE·OF，进而就是证明＝．显然，只需证明△BOE∽△FOB即可．由矩形的性质可知OA＝OB，则∠OBA＝∠OAB．由OF⊥AC得∠AOE＝90°．在△AOE和△FBE中，易证∠OAE＝∠BFE，于是有∠OBE＝∠OFB，则结论得证．

说明：要证明线段成比例，需寻找两个三角形相似，进而寻找两个三角形中的对应角相等，这是处理此类问题最为常见的思维方法．本题在证明过程中还要注意到转化思想的运用，即不停地将结论加以转化．