探究三角形三个内角的和

侯　伟

[问题与情境]

1． 如图1，做一个三角形纸片，它的三个内角分别为∠1、∠2和∠3，将∠1撕下进行拼接，使∠1的顶点与∠2的顶点重合，它的一条边与∠2的一条边重合.此时∠1的另一条边与∠3的一条边平行吗？为什么？

2. 将∠3与∠2的公共边延长，它与∠1的另一条边夹的角为∠4，∠3与∠4的大小有什么关系？为什么？

由上面问题可以得到：三角形3个内角的和等于180°．

特别地，直角三角形的两个锐角互余.

[开眼界]

千奇百怪的三角形

在纸上画三角形，无论怎样画，把三角形里面的3个角加起来，都会等于180°.即使是画上100个、1 000个，也绝对不会有一个例外.那么，能不能找到一种三角形，它的内角和不等于180°呢？在200年前，如果有谁提出了这样一个问题，准会有人对他嗤之以鼻，因为三角形内角和等于180°是几何书中的一个定理！定理就是经过逻辑推理证明是正确的数学结论.如果有谁不信“邪”，仍要来问一声：“这个定理就一定那么可靠吗？”那么，人们就会搬来经典著作《几何原本》，指着第五公设对他说：“瞧，这个定理的正确性可以由它来保证.”公设也就是公理，是一种最基本的数学结论，它们的正确性经过了时间的反复证明，是不证自明的.不朽名著《几何原本》中的全部定理，都建立在10个公理的基础上，有谁敢怀疑“三角形的内角和等于180°”这个定理，也就等于怀疑第五公设有问题.如果连公理也有问题，岂不是所有的几何定理都值得怀疑了吗？不过，有些数学家们对这个第五公设是不大满意的.《几何原本》问世后的2 000多年里，数学家倾注了无穷无尽的智慧，始终也未能证明第五公设.虽然有不少人曾宣称解决了这个问题，但一检查就发现，不是证明过程有错误就是用了个更不明显的公设代替了第五公设.无可奈何之下，大数学家达朗贝尔称它是“几何学中的家丑”.

19世纪初，有个叫亚诺什－波里亚的匈牙利青年，决定献身于第五公设的研究.他很快就发现，只要改变第五公设，就可以创造出一种新的几何学来，于是他提出了一个新的平行公理：“在平面内，过已知直线外一个点，至少可以作出两条与已知直线相平行的直线．”这个新公理否定了平行线的唯一性.以它为基础，再加上原来的9个公理，就组成了一门新的几何学，叫双曲几何学.凡是与旧的平行公理有关的定理，在双曲几何学中统统变得面目全非.例如，在双曲几何学中，不存在矩形，也不存在相似三角形.最有趣的是，不同的三角形就有不同的内角和，而它们又都比180°小！

双曲几何学更精确地反映了现实空间，但是，在我们的日常生活里，传统几何学已经足够精确了.在我们身边这个不大不小的空间里，传统的几何学仍然是适用的.因此，在纸上画三角形，无论是怎样画，把它的3个内角加起来，都会等于180°.但我们也应当知道，在数学王国里，确实还有一些“稀奇古怪”的三角形，它的内角和是不等于180°的.

[经典例析]

例1 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C ＝ 1∶2∶3，求∠A、∠B和∠C的度数.

解：设∠A ＝ x，则∠B ＝ 2x，∠C ＝ 3x．

由三角形内角和定理，得x ＋ 2x ＋ 3x ＝ 180°.

解之，得x ＝ 30°．所以∠A ＝ 30°，∠B ＝60° ∠C ＝ 90°.

借助方程思想解几何问题是一种常见的数学方法，本题用代数式表示每一个角，再利用三角形内角和是180°列出一元一次方程求解．今后当碰到与三角形的角有关的计算或证明题时，首先就应该想到三角形内角和定理.

例2 适合下列条件的△ABC是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形？

（1）∠A ＝ 20°，∠B ＝ 75°；（2）∠A － ∠B ＝ 30°，∠B －∠C ＝ 30°；

（3）∠A ＝ ∠B ＝ ∠C.

解：（1）因为∠A ＝ 20°，∠B ＝ 75°，所以∠C ＝ 180°－20°－75°＝85°．所以△ABC是锐角三角形.

（2）因为∠A － ∠B ＝ 30°，∠B － ∠C ＝ 30°，又∠A ＋ ∠B ＋ ∠C ＝180°，所以解由上面各式组成的方程组可得∠ A ＝ 90°．所以△ABC为直角三角形.

（3）设∠C为x，则∠A ＝ x，∠B ＝ x．因为∠A ＋ ∠B ＋ ∠C ＝ 180°，所以x ＋ x ＋ x ＝ 180°．解得x ＝ 120°，即∠C ＝ 120°．故△ABC为钝角三角形．

三角形的形状多种多样，按角的大小可将其分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个内角为钝角，这个三角形必为钝角三角形，故（3）中不必再求其他角的度数；有一个内角为直角，这个三角形必为直角三角形，故（2）中只要找到∠A ＝ 90°即可得出结论；锐角三角形的内角必须都是锐角.

例3 如图2，在Rt△ABC中，∠C ＝ 90°，CD⊥AB于点D.

（1）图中有几个直角三角形？

（2）有哪些锐角相等？

解：（1）图中有3个直角三角形，分别为Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△BCD.

（2）∠1 ＝ ∠A，∠2 ＝ ∠B.

利用“直角三角形的两锐角互余”，“同角或等角的余角相等”很容易得出∠1 ＝ ∠A，∠2 ＝ ∠B．通过本题要熟知：直角三角形斜边上的高把直角三角形分割成两个直角三角形，它们有两对锐角相等.

[即学即练]

1． 在△ABC中，已知∠B ＝ ∠C ＝ 2∠A，则∠A的度数为（）．

A．72° B．45° C．36° D．30°

2． 有下列3个说法：

①一个三角形的3个内角中至多有1个钝角；

②一个三角形的3个内角中至少有1个锐角；

③一个三角形的3个内角中至多有1个直角．

其中正确的个数是（）．

A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

3. 三角形的3个内角都相等，则这个三角形是（）．

A． 锐角三角形 B． 直角三角形

C． 钝角三角形 D． 不能确定

4. 如图3，∠1 ＋ ∠2 ＋ ∠3 ＋ ∠4等于（）．

A．140° B．180° C．280° D．360°

5． 直角三角形中，两个锐角的差为40° ，则这两个锐角的度数为[ ].

6. 在△ABC中，∠A － ∠B ＝ 60°，∠C ＝ 4∠B，∠C ＝[ ] .

7. △ABC中，∠C ＝ 2（∠A ＋ ∠B），求∠C.

8. 如图4，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E．请问：∠ACE与∠ABD之间有什么关系？并说明理由.

9. 如图5，直线AD、BC相交于点O，∠A ＝ ∠B，∠C ＝ ∠D，直线AB、CD有什么位置关系？请说明理由.

10. 小强喜爱钻研数学，他从小明探索三角形内角和为180° 中发现，是平行线起了关键作用，于是他尝试着利用图6所示的方法，居然也得到三角形的内角和为180° ．你能明白其中的道理吗？

<\server2photosSL7s8bt2.tif>[中考风向标]

1． （2007年·长春市）如图7，在△ABC中，BC边不动，点 A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B、∠C越来越大．若∠A减小α度，∠B增加 β度，∠C增加γ度，则α、β、γ三者之间的等量关系是[ ].

2． （2007年·吉林）如图8，在Rt△ADB中，∠D ＝ 90°，C为AD上一点，则x可能是（）．

A． 10°B． 20°C． 30°D． 40°

参考答案：

1. α ＝ β ＋ γ2． B

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