摸球的概率问题归类分析

陆干华　等

随着社会的不断发展，统计与概率的思想方法越来越得到重视，“运用数据进行推理”已成为现代社会普遍适用的思维方式，因此概率问题便成为近年来命题的新亮点.命题者以摸球、抛硬币、转转盘、抽扑克等同学们既熟悉又感兴趣的事件为载体，设计成概率中考题，以考查分析、解决问题的能立.下面就以摸球为载体的中考题分类解析.

一、从一袋中取一球

例1 小明和小乐做摸球游戏．一只不透明的袋里放有3个红球和5个绿球，每个球除颜色外都相同，每次摸球前都将袋中的球充分搅匀．从中任意摸出1个球，记录颜色后再放回，若是红球小明得3分，若是绿球小乐得2分．游戏结束时得分多者获胜．

（1）你认为这个游戏对双方公平吗？

（2）若你认为公平，请说明理由；若你认为不公平，也请说明理由，并修改规则，使该游戏对双方公平．

解析：（1）不公平．（2）因为每个球除颜色外都相同，所以从中任意摸出1个球的机会是相同的．袋里共有球8个，其中红球3个、绿球5个，因此从中任意摸出1个球，有P（摸出红球） ＝ ，P（摸出绿球） ＝ ．所以小明平均每次得分＝ × 3 ＝ （分），小乐平均每次得分 ＝ × 2＝ （分）．因为 ＜ ，所以游戏对双方不公平．游戏规则相应部分可修改为：①口袋里只放2个红球和3个绿球；②摸出红球小明得5分，摸到绿球小乐得3分.

二、从一袋中取两球

1． 从一袋中取两球，第一次取出不放回．

例2 不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个．现从中任意摸出1个是白球的概率为．

（1）试求袋中蓝球的个数；

（2）第一次任意摸1个球（不放回），第二次再摸1个球，请用画树状图或列表格法，求两次摸到的都是白球的概率．

解析：（1）设蓝球个数为x，则由题意，得 ＝ ，则x ＝ 1，所以蓝球有1个．

（2）用画树状图来探求两次摸球的所有等可能的结果如图1．

从上面的树状图可以发现．两次摸球的所有等可能的结果有12种，其中两次摸到的都是白球的结果有2种，所以两次摸到的都是白球的概率为．

说明：由于第一次取球后不放回，所以第二次取球的可能性结果比第一次取球的可能性结果少一种，画树状图或列表时要注意这一点．另外，我们有时会遇到一次摸两球的情形，其实质与摸两次第一次不放回是一样的.

2． 从一袋中取两次球，第一次取后又放回．

例3 一个不透明的袋子中装有3个完全相同的小球，分别标有数字3、4、5，从袋子中随机取出1个小球，用小球上的数作为十位上的数，然后放回；再取出1个小球，用小球上的数作为个位上的数，这样组成一个两位数.试问：按这种方法能组成哪些两位数？组成的两位数中，十位上的数与个位上的数之和为9的两位数的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明．

解析：用列表法探求两次摸球的所有等可能的结果如表1．

表1

从表1可以看出，能组成的两位数有：33，34，35，43，44，45，53，54，55．组成的两位数有9个，其中十位上的数与个位上的数之和为9的两位数有2个，所以这个概率P ＝ .

说明：由于第一次取球后又放回，因此第二次取球的可能性结果与第一次取球的可能性结果是完全相同的，在画树状图或列表时，要注意这一点.

三、从多袋中取球

例4 某中学七年级有6个班，要从中选出2个班代表学校参加某项活动，七（1）班必须参加，再从另外5个班选出1个班．七（4）班有同学建议用如下的方法：从装有编号为1、2、3的3个白球A袋中摸出1个球，再从装有编号为1、2、3的3个红球B袋中摸出1个球（两袋中的球除颜色外其余特征完全一样），摸出的2个球上的数之和是几，就选几班．你认为这种方法公平吗？请说明理由．

解析：方法不公平．

说理1：用表格来说明，如表2．

表2

说理2：画树状图来说明，如图2．

从表2或图2可以看出，摸出的2个球上的数之和有9种等可能的结果：和为2的有1种，和为3的有2种，和为4的有3种，和为5的有2种，和为6的有1种．所以七（2）班被选中的概率为，七（3）班被选中的概率为，七（4）班被选中的概率为＝，七（5）班被选中的概率为，七（6）班被选中的概率为．因此这种方法不公平.

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