认识三角形的基本元素和三边关系

杨　升

[问题与情境]

1． 观察图1的屋顶框架图．

（1）你能从图中找出4个不同的三角形吗？

（2）与同桌交流各人找到的三角形．

（3）这些三角形有什么共同的特点？

2． 元宵节的晚上，图1斜梁上装有黄色彩灯，横梁上装有红色彩灯，那么装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说说你的理由．你知道在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系吗？为什么会有这样的关系？

[开眼界]

“几何”这个词来源于希腊文，原意是土地测量．在远古时代，人们在实践中积累了平面、直线、方、圆、长、宽等概念，并逐步认识了它们之间的位置和数量关系，这些后来就成了几何学的基本概念．真正把几何总结成一门具有严密理论的学科的是希腊杰出的数学家欧几里得．他非常详尽地搜集了当时所能知道的一切几何事实，按着柏拉图和亚里士多德提出的关于逻辑推理的方法整理成 一套严密系统理论，写成了数学史上的早期巨著——《几何原本》，欧几里得的《几何原本》共13卷，第一卷讲三角形全等的条件、三角形边角关系、平行线理论、多边形的面积等问题；第二卷讲如何把三角形变成等积（面积）的正方形；第三卷讲圆；第四卷讨论内切和外接多边形；第五卷讲相似多边形理论；第六到第十卷讲比例和算术理论；最后3卷讲述立体几何的内容.

[经典例析]

例1（1）如图2，图中共有[ ]个三角形，它们分别是[ ]．

（2）以AD为边的三角形有[ ]．

（3）∠C分别为△AEC、△ADC、△ABC中[ ]、[ ]、[ ]边的对角.

（4）∠AED是[ ]、[ ]的内角.

答案：（1）6△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC

（2）△ABD、△ADE、△ADC

（3）AE AD AB

（4）△ADE △ABE

理解三角形的含义有三个要点：①不在同一直线上；②三条线段；③首尾顺次相接．这三点缺一不可．三角形用符号“△”表示；顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，在复杂图形中数三角形时，要注意做到不重不漏．在数三角形个数时，可先固定一个顶点，变换另两个顶点，依次数下去，要按一定的顺序去找，才能不重不漏；图2中都有一个公共点A，只需在BC上找出所有的线段，BC上共有6条线段：BD、BE、BC、DE、DC、EC，运用这种有序化的数学思路来找，便可找出图中所有三角形.

例2 有两根长度分别为5 cm和8 cm的木棒．用长度为2 cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13 cm的木棒呢？

解：取长度为2 cm的木棒时，由于2 ＋ 5 ＝ 7 ＜ 8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形.

取长度为13 cm的木棒时，由于5 ＋ 8 ＝ 13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形.

三角形的三边关系为：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边，巧记为“和者大，差者小”.该关系有两个作用：①判断三条线段能否组成三角形．通常采用较短两边的和与最长边（或最长边与所剩两边中的一条边的差与另一边）的大小关系来得结论，若大于（或小于），则可以组成三角形，否则不能组成三角形．②确定三角形第三边的取值范围．当已知两边求第三边的取值范围时，第三边必须满足“两边之差的绝对值＞第三边＞两边之和”，即如果已知三角形的两边a和b，第三边为c，则有a－b ＜ c ＜ a ＋ b．

[即学即练]

1． 下列图形是三角形的为（）．

2． 以下列各组线段为边，能组成三角形是（）．

A． 2 cm，2 cm，5 cm B． 4 cm，7 cm，3 cm

C． 5 cm，2 cm，8 cm D． 11cm，9 cm，6 cm

3． 已知三条线段的长度之比如下，其中能够组成三角形的是（）．

A． 2∶3∶4B． 3∶4∶7C． 1∶2∶4D． 4∶5∶10

4． 一位木工师傅现有两根木条，它们的长分别为50 cm、70 cm，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为x cm，则x的取值范围是[ ]．

5． 四条线段的长分别为5 cm、6 cm、8 cm和13 cm，以其中任意三条线段为边可构成[ ]个三角形.

6． 指出图3中有几个三角形，并用符号写出来.

7． 如果三角形的两边长分别是2和4，且三角形的周长为3的倍数，则三角形的第三边长为多少？

8． 在三角形中，一边长等于另一边长的2倍，试探究该三角形的最短边与周长的关系，并说明理由.

9． 有三段粗细均匀且直径相同的钢筋，长度分别是a cm、b cm和x cm，恰好可以围成一个三角形，其质量分别是20 kg，30 kg和p kg，求p的取值范围（钢筋质量与长度成正比）.

10． 如图4，AB ＝ BC ＝ AC ＝ 4，将三边均分为4等份．问：图中共有多少个三角形？

[中考风向标]

1． （2006年·常德市）有4条线段，它们的长分别为1 cm、2 cm、3 cm和4 cm，从中选三条构成三角形，其中正确的选法有（）．

A． 1种 B． 2种 C． 3种 D． 4种

2． （2007年·贵阳市）在△ABC中，若AB ＝ 8，BC ＝ 6，则第三边AC的长度m的取值范围是[ ]．

参考答案：1． A2． 2 ＜ m ＜ 14

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