《概率》知识盘点

左加亭

知识乐园

1．知识结构网络

2．知识要点

（1）可能性的大小

我们知道，生活中有些事情一定会发生，有些事情一定不会发生，有些事情可能会发生．通过学习我们知道这部分内容的主要知识点是：人们通常用1或100％来表示必然事件发生的可能性，也就是必然事件发生的概率为1；用0来表示不可能事件发生的可能性，即不可能事件发生的概率为0；不确定事件发生的概率大于0且小于1.

（2）游戏是否公平

几个人玩一种游戏，对所有的人是否公平，主要从两个方面来检测，一是判断游戏双方操纵的是否是同类事件，二是两事件发生的可能性是否相等.理解游戏是否公平应注意的问题：一是理解含义．游戏不具有公平性，游戏的结果就失去了意义，要使游戏对双方公平，首先是游戏的操作方式，程序、规则等条件必须相等．另一个重要的方面是对双方获胜的可能性要相等.

（3）认识概率知识要点

认识概率这部分内容的知识要点关键有三个：一是必然事件发生的概率为1，记作P（必然事件）＝1；二是不可能事件发生的概率为0，记作P（不可能事件）＝0；三是如果事件A为不确定事件（此处指可能发生也可能不发生的事件）那么不确定事件的概率为：0 ＜ P（A） ＜ 1.

（4）简单概率计算的类型

概率是一个用以表示事件发生的可能性大小的数值，常见的概率方面的计算问题有如下类型：①古典概型．求事件发生的概率，需先求出所有可能的情形数n，再求出符合要求的情形数m，则该事件发生的概率为P ＝ ．②几何概型．事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形的面积除以所有可能结果组成的图形的面积．③概率的实际应用．按具体事件发生的概率要求，利用数量关系建立概率模型，解决实际问题．

妙 题 屋

例1 下列说法错误的是（）．

A． 必然发生的事件发生的概率为1

B． 不可能发生的事件发生的概率为0

C． 随机事件发生的概率大于0且小于1

D． 不确定事件发生的概率为0

解析： 不确定事件和随机事件发生的概率为0 ＜ P ＜ 1，因此，不确定事件发生的概率不为0，应选D．

例2 经过某十字路口的汽车可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么3辆汽车经过这个十字路口，至少有两辆车向左转的概率为[ ]．

解析： 本题情况较复杂，可列树状图解． 如果这三种可能性大小相同，那么三辆汽车经过这个十字路口共有27种情况，其中至少有两辆车向左转的概率为．

例3 将A、B、C、D 4个人随机分成甲乙两组参加羽毛球比赛，每组2人．

（1） A在甲组的概率是多少？

（2） A、B都在甲组的概率是多少？

解析： 所有可能出现的结果列表如下：

表1

总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同．

（1） 所有的结果中，满足A在甲组的结果有3种，所以A在甲组的概率是；（2） 所有的结果中，满足A、B都在甲组的结果有1种，所以A、B都在甲组的概率是．

中 考 考 点

考点1 ：随机事件

例4 （2007年·淮安市）根据最新规则，乒乓球单打淘汰赛采用七局四胜制（谁先赢满四局为胜）．2007年5月27日，第49届世乒赛男单决赛结算了前四局，马琳以3∶1领先王励勤．此时甲、乙、丙、丁4位同学给出了如下说法．甲：马琳最终获胜是必然事件；乙：马琳最终获胜是随机事件；丙：王励勤最终获胜是不可能事件；丁：王励勤最终获胜是随机事件.4位同学的说法中，正确的是（）．

A． 甲和丙 B． 乙和丁

C． 乙和丙 D． 甲和丁

点拨：判断一个事件是不是随机事件，我们必须抓住确定事件、不可能事件和随机事件的概念．在叙述这三种事件时，我们都反复提到“在一定条件下”这几个字，因为必然事件、不可能事件、随机事件都必须受到一定条件的制约．

解析： 由于比赛采用七局四胜制，马琳胜了3场，有可能后面4场全输，所以马琳可能获胜也可能不获胜；王励勤虽然只有1场胜，但如果后面3场全胜，那么他就能赢．因此两人最终谁获胜这一事件是一个随机事件，故选B．

考点2：古典概型

例5 （2007年·赤峰市）在一副扑克牌（54张，其中王牌2张）中，任意抽取1张牌是“王牌”的概率为（）．

A． B． C． D．

点拨：古典概型概率要求试验的结果是有限个的，且结果出现的可能性相等，因此求古典概型的概率时，要关注某个事件在试验中可能出现哪些结果，以及这些结果发生的机会是否均等，然后根据求概率公式求出事件A发生的概率P（A）＝．

解析： 在一副扑克牌中任意抽取1张牌，可能的结果有54种，其中有2种是“王牌”，故任意抽取1张牌是“王牌”的概率是．

考点3：游戏的公平性

例6 （2007年·威海市）图1是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域内的数之和小于10，小颖获胜；指针所指区域内的数之和等于10，为平局；指针所指区域内的数之和大于10，小亮获胜；如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．

（1） 请你通过画树状图的方法求小颖获胜的概率．

（2） 你认为该游戏是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．

点拨：通过列表法或画树形图，分别求出小亮和小颖获胜的概率，然后比较这两个概率的大小．如果概率相同，则游戏公平；若不同，则游戏不公平．设计一个公平游戏的原则是保证这个游戏对于玩游戏者获胜的概率相同．

解析：（1）树状图如图2．

可见，共有12种等可能的情况，其中和小于10的有6种．

所以小颖获胜的概率为＝．

（2） 该游戏规则不公平． 由（1）知，共有12种等可能的情况，其中和大于10的情况有6种，和等于10的情况有3种．故小亮获胜的概率为＝，而小颖获胜的概率为，所以游戏不公平．游戏规则可修改为：当两个转盘指针所指区域内的数之和大于10时，小亮获胜；当两个转盘指针所指区域内的数之和小于或等于10时，小颖获胜．

修改游戏规则的方式很多，只要修改后的游戏规则符合题目要求均可．例如游戏规则也可修改为：当两个转盘指针所指区域内的数之和为奇数时，小亮获胜，为偶数时，小颖获胜．

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