§３．５ 二次函数的图象和性质

张玉明

第1课时二次函数的概念和性质

主要知识点

1. 二次函数的概念

一般地，称y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）表示的函数为二次函数.

2. 二次函数的图象和性质

（1） 二次函数的顶点式为y=a（x-h）2+k（a≠0），它的图象是对称轴平行于y轴的抛物线.

（2）图象特征：① 当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下.② 对称轴为直线x=h.③ 顶点坐标为（h，k）.

（3） 增减性：当a＞0时，如果x≤h，那么y随x的增大而减小；如果x≥h，那么y随x的增大而增大.当a＜0时，如果x≤h，那么y随x的增大而增大；如果x≥h，那么y随x的增大而减小.

（4） 最值：若a＞0，当x=h时，y最小值=k；若a＜0，当x=h时，y最大值=k.

练习题

1. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，并且经过点 （-1，2），（1，0）.下列结论正确的是（）.

A.当x>0时，函数值y随x的增大而增大

B.当x>0时，函数值y随x的增大而减小

C.存在一个负数x0，使得当xx0时，函数值y随x的增大而增大

D.存在一个正数x0，使得当xx0时，函数值y随x的增大而增大

2. 当-2

3. 二次函数y=x2-2x-3的最小值是?摇 ?摇?摇.

4. 求二次函数y=x2-2x-1的顶点坐标及它与x轴的交点坐标.

第2课时二次函数与一元二次方程

主要知识点

一、二次函数的解析式

1. 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）.

2. 顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）.

如果已知二次函数的图象经过一般的三点，可设解析式为一般式y=ax2+bx+c；如果所给条件中有顶点（或对称轴、最值等），应设解析式为顶点式y=a（x-h）2+k（a≠0）.

二、二次函数图象的平移

任何抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）都可转化为y=a（x-h）2+k（a≠0）.这时，抛物线的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，因此任何抛物线都可由抛物线y=ax2经适当平移得到，具体平移方法如图：

三、 二次函数图象与一元二次方程

1. 如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），那么一元二次方程ax2+bx+c=0就有两个不相等的实数根x1，x2.

2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有如下关系.

（1） 如果图象与x轴有两个不同的公共点，那么对应的一元二次方程有两个不相等的实数根.

（2） 如果图象与x轴只有一个公共点，那么对应的一元二次方程有两个相等的实数根.

（3） 如果图象与x轴没有公共点，那么对应的一元二次方程没有实数根.反之，根据一元二次方程的根的情况，可以知道二次函数的图象与x轴的位置关系.

3. 利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c=0的解的步骤.

（1） 画出二次函数y=ax2+bx+c的图象.

（2） 根据图象确定抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分别在哪两个相邻整数之间.

（3） 利用计算器探索其解的十分位数字，从而确定方程的近似解.

经典例题

例 1 已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（1，-4），且抛物线在x轴上截得的线段长为4，求抛物线的解析式.

解析：由于抛物线是轴对称图形，因此抛物线在x轴上截得的线段被抛物线的对称轴垂直平分，从而可求得抛物线与x轴的两个交点坐标.

∵ 抛物线的顶点为（1， 4），

∴ 设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-4.

∴ 抛物线的对称轴为直线x＝1.

又∵ 抛物线在x轴上截得的线段长为4，

∴ 抛物线与x轴的交点为（-1，0），（3，0）.

将点（-1，0）或（3，0）代入，得0＝4a-4.解得a＝1.

∴ 抛物线的解析式为y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3.

评注：函数图象是研究函数性质的有力工具，是数形结合思想方法的重要运用.本题通过形（图象及其位置）的条件得出数（相等和不等关系）的结论.同学们在复习时要加强对这种思想方法的理解和运用.

例 2 若抛物线y=a（x-h）2+k向下平移一个单位后，再向左平移3个单位，所得到新抛物线的顶点坐标为（-2，0），且a+h+k=4.求原抛物线的解析式.

解析：抛物线平移，主要抓住顶点的平移，由于平移中a不变，只要变动顶点就行了.对于这类已知平移后的顶点坐标，求原顶点坐标的问题，采用逆推法更易获解.

原抛物线顶点坐标（h，k）向下平移1个单位后为（h，k-1），再向左平移3个单位后为（h-3，k-1）.依题意，得h-3=-2，k-1=0，所以h=1，k=1.又a+h+k=4，所以a=2.所以y=2（x-1）2+1，即y=2x2-4x+3.

评注：二次函数的图象是对称轴平行于y轴的抛物线，只要a值相同，抛物线的开口方向、大小和形状完全相同，只是位置不同，而且抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）都可通过配方转化为y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，其图象可以由y=ax2（a≠0）经过适当的平移得到.

例 3 已知二次函数y=x2+ax+a-2，求证：不论a取何值，总有抛物线y=x2+ax+a-2的顶点Q在x轴下方.

分析：要说明抛物线的顶点在x轴下方，由于抛物线的开口向上，只要说明Δ＞0即可.也可以验证顶点纵坐标小于0.

方法1：由Δ=a2-4（a-2）=a2-4a+8=（a-2）2+4＞0，且抛物线的开口向上，可知抛物线与x轴有两个交点，所以顶点恒在x轴的下方.

第3课时二次函数的应用

主要知识点

1. 二次函数的应用常见题型

（1） 求最值.解决这类题要根据题意建立数学模型，利用二次函数性质求解，但应注意自变量的取值必须在实际生活中有意义.

（2） 与几何图形相结合的问题.运用几何图形的性质建立变量间的函数关系式，借用函数的性质求解.

2. 利用二次函数解决实际问题的步骤

（1） 找出等量列出等式.

（2） 引入变量，将等式转化为函数关系式.

（3） 利用二次函数的图象画出草图.

（4） 结合实际，找出符合实际问题的那部分图象.

（5） 抓住图象与坐标轴的交点、最高点或最低点这些特殊点，求出最后结果.

3. 善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好.某一天小迪有20 min时间可用于学习.假设小迪用于解题的时间x（单位：min）与学习收益量y的关系如图5所示，用于回顾反思的时间x（单位：min）与学习收益y的关系如图6所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间.

（1）求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式.

（2）求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x的函数关系式.

（3）小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20 min的学习收益总量最大？

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