§２．４ 方程与不等式的应用

张文惠　刘　洋

第1课时方程（组）的实际应用

主要知识点

一、要点回顾

1. 列方程（组）解应用题的步骤：

（1） 仔细审题，弄清楚题意及有关事物的概念；

（2） 找出题中明显的等量关系和隐含的等量关系；

（3） 选设未知数，并用含这个未知数的代数式表示其他未知量；

（4） 利用未曾用过的等量关系列方程；

（5） 解方程；

（6） 检验得数是否符合题意，然后做答.

2. 列方程（组）解应用题，首先应该学会读题. 读题要有明确的目的，分清层次，准确、全面地理解题意.我们可以先“概读”，了解问题的概况和基本数量；再“精读”，把关键语句画出来，并逐字逐句吃透，从中找出等量关系.读题时要让自己成为问题中的主人公，设想自己正在进行题目背景中的活动.

学会读题，要找出题目中的关键语句，有的关键语句直接给出了相等关系，可以“直译”成文字等式.如“汽车的速度是拖拉机的2倍”.有些关键语句，如“20 min后，通迅员……按原路追上队伍”等，并未直接点出相等关系，但它指明了“应用题事件”的发生过程或操作过程.我们可以从事物的发生过程中发现数量关系.

为了找到关键的等量关系，可以通过线段图、示意图、列表等，帮助理顺纷繁的数量关系，形成条理清晰的思路.

解答应用题时，一定要重视解题后的回顾与反思，这样，我们才能迅速提高自己的解题能力.

二、考点指南

根据具体问题中的数量关系，列出方程（组）解决简单的实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理. 这要求同学们具有一定的收集和处理信息的能力、获取新知识的能力，从多角度思考、分析问题和解决问题的能力以及创新实践能力.

经典例题

例 1 2002年以来，我国曾五次实施药品降价，累计降价的总金额为269亿元.五次药品降价的年份与相应降价金额如下表所示.表中缺失了2003年、2007年的相关数据.已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍，结合表中信息，求2003年和2007年的药品降价金额.

答：2003年和2007年的药品降价金额分别为20亿元和120亿元.

评注：抓住题目中的关键词“××是××的×倍”，对我们列等量关系非常重要.

例 2 甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲、乙两人每天共加工35个玩具，求甲、乙两人每天各加工多少个玩具.

分析：题目中有时间，加工的速度，加工的数量这几个量.等量关系为“时间=加工玩具的数量÷加工的速度”.

解：设甲每天加工x个玩具，那么乙每天加工（35-x）个玩具.

答：甲每天加工15个玩具，乙每天加工20个玩具.

评注：先写出一个用文字表示的等量关系，然后把其中的量用代数式替换即可.所谓方程就是这样列出来的.

例 3 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为1 000元，如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社27 000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游.

析：题目中给出了两种计费方式，选择哪一种呢？按照第二种计费方式，每人优惠的数量怎样计算？是一个固定值吗？

解：设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1 000×25=25 000<27 000，所以员工人数一定超过25.

所以可得方程：［1 000-20（x-25）］x=27 000.

整理，得x2-75x+1 350=0.解得x1=45，x2=30.

当x1=45时，1 000-20（x-25）=600<700，故舍去.

当x2=30时，1 000-20（x-25）=900>700，符合题意.

答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.

评注：对于这类“决策型”问题，我们或者要选择合适的方案，或者要分类讨论.要找到检验解是否符合实际的关键语句.本题中的“不得低于700元”是关键语句.

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