§３．３ 一次函数

刘　红

第1课时一次函数知识点解读

一、一次函数、正比例函数的概念

如果y＝kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数.

如果y＝kx（k是常数，k≠0），那么y叫做x的正比例函数.

由此可见，一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）中，当b＝0时，就成了正比例函数.所以正比例函数是一次函数的特例.

注意：1. 一次函数中自变量x的指数必须是1，且一次项系数k≠0.

2. 正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.

二、一次函数、正比例函数的图象、性质

2. 一次函数的性质是：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小.

3. 正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是过原点（0，0）的一条直线.

4. 正比例函数的性质是：当k＞0时，y随x的增大而增大，图象在第一、三象限内；当k＜0时，y随x的增大而减小，图象在第二、四象限内.

注意：（1） 一次函数与正比例函数的共同性质是：当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小.

（2） k的符号决定直线的倾斜方向，k的绝对值决定倾斜的程度，｜k｜越大，直线越靠近y轴.

（3） b决定直线与y轴的交点（0，b），也就是决定了直线的位置.

（4） 对于直线y=k1x+b1和直线y=k2x+b2（k1，k2，b1，b2为常数，且k1·k2≠0），当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行；当k1≠k2时，两直线相交于一点.

三、一次函数和正比例函数关系式的确定

待定系数法确定：根据题目中的条件，先设函数为y＝kx+b或y＝kx.由于一次函数y＝kx+b中有两个未知字母（待定系数）k，b，所以需要列出两个关于k，b的方程，将k，b的值求出，再代入关系式即可.如果是正比例函数y＝kx，则只需列一个关于k的方程，求出k的值.

第2课时一次函数与方程（组）及不等式的关系及应用

一、一次函数与方程组、不等式的关系

1. 一次函数与一元一次方程

函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）中，当函数值等于0时，相应的自变量x的值就是一元一次方程kx+b=0（k，b是常数，k≠0）的解，所对应的坐标是直线y＝kx+b与x轴的交点坐标.

2. 一次函数与一元一次不等式

直线y＝kx+b在x轴的上方，也就是使函数的值大于０的x的值是不等式kx+b＞0（k≠0）的解；在x轴的下方，也就是使函数的值小于０的x的值是不等式kx+b<0（k≠0）的解.

3 .一次函数与二元一次方程

（1） 由于任何一个二元一次方程都可以转化为y＝kx+b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.

（2） 以二元一次方程的解为坐标的点，都在相应的一次函数的图象上；一次函数图象上任意点的坐标都适合与之相应的二元一次方程.

4. 一次函数与二元一次方程组

同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解；反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数图象的交点.

注意：每个一次函数问题都可以转化为方程或方程组问题，求函数图象与坐标轴的交点或与另一个函数图象的交点，都是解方程或解方程组问题，求x或y的取值范围就可以转化为解不等式或不等式组问题.

二、一次函数与方程（组）及不等式相结合的实际应用题

一次函数与方程（组）及不等式相结合能解决许多实际应用问题，中考中通常以综合题的形式出现.解这类综合题时，一定要审清题意，找出等量关系或不等关系，列出方程、不等式或确定函数的关系式，进而解决问题.

点评：容易想到，由已知A，B两点的坐标求出一次函数的解析式，然后再解一元一次不等式，这是解此类题的常规方法.但是在这道题中，我们应该注意从图象中捕捉信息，利用数形结合思想解题.

例 2 已知一次函数y＝3x+b和y＝ax-3的图象交于点P（-2，-5），求不等式ax＋b＞0的解集.

解析：求不等式ax＋b＞0的解集，就必须知道a，b的值.已知两个函数图象的交点坐标，分别将x=-2，y=-5代入两个解析式，即可求出a，b的值.

将x=-2，y=-5分别代入y＝3x＋b和y＝ax-3中，可得b=1，a=1.所以不等式为x+1>0，解得x>-1.

第3课时一次函数实际的应用常见题型

1. 一次函数的图象信息题

在一次函数应用题中，把反映数量关系的图象作为已知条件，进行分析解答的中考试题不断增多， 成为中考命题的又一新趋势.这类题考查从图象中获取信息的能力，考查综合运用一次函数的性质与图象解决实际问题的能力.

2. 一次函数的最值问题

在一次函数应用题中，关于最值问题一般有两种类型.

（1） 求分配方案中的最值.可以把几种方案的相关数据都求出来，比较最值即可.

（2） 列出函数关系式，利用一次函数的增减性确定最值.要特别注意准确求出自变量的取值范围.

3. 一次函数的方案设计问题

在日常生活中，我们经常遇到一些问题需要找出全部可能方案，经过对比，然后作出决策.这些方案的设计当然少不了要建立一次函数模型，然后确定自变量可取的特殊值（一般为取值范围内的正整数），进而求出几种方案.

练习题

1. 某县在实施“村村通”工程中，决定在A，B两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从A，B两村同时相向开始修筑.施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通.图5是甲、乙两个工程队所修道路的长度y（m）与修筑时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，求出该公路的总长度.

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