数学小王子漫游“多边形”王国

刘　顿

明明是七年级有名的数学爱好者，不仅如此，而且对所学过的数学知识了如指掌，解决有关题目时得心应手，所以大伙儿都称他是“数学小王子”.在今天的数学复习课上，老师讲述了有关“多边形”王国的故事，并让同学们留心观察周围各种建筑物的地面、墙面的瓷砖形状，以便从中发现各种不同形状的三角形、多边形.听了老师的讲解，数学小王子便对“多边形”情有独钟.于是，数学小王子怀着对“多边形”王国的美好憧憬，单独来到这美好的“多边形”王国.

国王首先请数学小王子来到知识宫殿.

在知识宫里，数学小王子看到的是一幅幅留有空白的条幅，国王要求他通过对知识的回忆完成下面的填空.

1.三角形的基本概念：叫做三角形，叫做三角形的边，叫做三角形的顶点，叫做三角形的内角，叫做三角形的外角，叫做三角形的中线，叫做三角形的角平分线，叫做三角形的高.

2.三角形中角的关系：①三角形的内角和等于；②三角形的任意一个外角等于和它的两个内角的；③三角形的一个外角任何一个与它的内角；④三角形的外角和为.

3.三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.锐角三角形的三个角都是；直角三角形有一个角是，两个角是.钝角三角形有一个角是，两个角是.三角形按边分类有不等边三角形和三角形（含等边三角形）.

4.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和第三边；三角形的任意两边之差第三边.

5.多边形的有关性质：n边形内角和为；任意多边形的外角和为；正n边形的一个外角为；n（n＞3）边形具有不稳定性；三角形具有.

6.用正多边形铺满地板.用同一种正多边形可以铺满地板的有正三角形、正方形、正六边形.这就是说，当360°÷的结果为正整数时，即为正整数时，用这样的正n边形就可以地面.用多种正多边形铺地板，拼成既不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是，围绕一点拼在一起的几个多边形的内角相加恰好等于.

在知识宫里面，数学小王子完成填空后，国王就直接领着他来到了考点宫殿.

在考点宫里，数学小王子看到的是清一色的2007年各类中考试题.国王请数学小王子从这些试题中精心挑选有关多边形的考题，并作简析.

例1（扬州市）用等腰直角三角板画∠AOB＝45°，并将三角板沿OB方向平移到如图1所示的虚线处，然后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为____.

简析：依题意可知∠AMB＝45°+22°＝67°，而由三角形的外角与不相邻的两个内角的关系可知α+∠AOB＝∠AMB，即α＝∠AMB－∠AOB＝67°－45°＝22°.

例2（重庆市）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）.

A.20°B.120°

C.20°或120° D.36°

简析：已知这个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，若设这个等腰三角形的顶角为x，则根据题意，得底角为4x或x.于是根据三角形的内角和定理可列出方程x+4x+4x＝180°或x+x+x＝180°，解得x＝20°或x＝120°.故应选C.

例3 （安顺市）如果等腰三角形的两边长分别为4和7，则三角形的周长为.

简析：若4是腰长，7是底边长，则三角形的周长为15；若4是底边长，7是腰长，则三角形的周长为18.所以这个等腰三角形的周长为15或18.

例4（株洲市）现有2 cm、4 cm、5 cm、8 cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）.

A.1B.2 C.3D.4

简析：已知四条线段，取其中三条，只要满足三角形的三边关系即可.由此可知可以组成三角形三条线段的长分别是：2 cm、4 cm、5 cm；4 cm、5 cm、8 cm.故应选B.

例5（1）（长沙市）单独使用正三角形、正方形、正六边形、正八边形四种地砖，不能镶嵌（密铺）地面的是.

（2）（资阳市）n边形的内角和比（n+1）边形的内角和小____度.（n为整数，且n≥3）

简析：（1）正三角形、正方形、正六边形、正八边形的每一个内角分别是60°，90°，120°，135°，而360°不是135°的整数倍，所以正八边形不能镶嵌（密铺）地面.（2）因为（n+1）边形的内角和为[（n+1）－2]×180°＝（n－1）×180°，而n边形的内角和为（n－2）×180°，所以（n－1）×180°－（n－2）×180°＝180°，所以n边形的内角和比（n+1）边形的内角和小180°.

完成了对中考试题的简析，数学小王子本想轻松一下，可国王硬是将他拉到了易错宫殿，并要求他说出平时同学们经常出现错误的原因和具体例子.

数学小王子对国王说，多边形虽然是我们日常生活中经常接触到的最基本的几何图形，但平时我们在具体求解问题时，由于画图不当或考虑不周密等，总是会出现一些错误.常见的错误有：

1.作图时出现的错误.如，作有关钝角三角形的高时最容易出错，又如，错误认为三角形的角平分线、中线和高都是射线.

2.确定三角形边长的取值范围时书写错误.如2＞a＞3.

3.忽视三条线段组成三角形的条件.如错误认为长度分别为1、2、3的线段可以组成三角形.

4.遇到等腰三角形时忽视分类讨论.如，求以2和3为边的等腰三角形的周长时，只得出一个答案7，又如，己知等腰三角形的一个内角等于70°，求底角的度数时，只得出一个答案：底角是55°.

5.忽视图形的本质特征.如误以为同一种形状大小都相同的任意四边形不能铺满地面，等等.

数学小王子说，出现这些错误的原因一般都是对多边形的有关概念理解不够深刻，性质掌握不牢所致.

数学小王子走过上面几道宫殿，国王觉得数学小王子真的不简单，于是径直带他到了训练宫殿，让他好好地展示一下自己的风采.

1.如图2，若AB＝CD＝2 cm，AE＝3 cm，则△AEC的面积S＝，CE＝.

2.如图3，在△ABC中，D是BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63° .求∠DAC的度数.

3.如图4，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，那么∠BDC＝90°+∠A，这个结论正确否?

4.已知多边形的一个内角的外角与其他各内角的和为600°，求边数及该外角的度数.

5.我们常见到如图5那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面．

（1）密铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？

（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图.

（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．

数学小王子看到全是自己学过的知识，于是一口气给出了下面的答案：

1.S=3 cm2，CE=3 cm.

2.∠DAC=24°.

3.这个结论正确.

4.这个多边形边数为5，外角为120°或边数为6，外角为30°.

5.（1）所用材料的形状不能是正五边形.原因略.（2）略.（3）略.

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