有关三角形内角与外角的解题误区点击

李庆社

学习了“多边形”后，有些同学由于对概念、定理理解不透彻，而产生解题误区.

例1一个三角形的三个外角中，最多有几个角是锐角？

【解题误区】对三角形的内角与外角的概念如未能真正理解并加以区分，就会错误地认为三角形的外角也与其内角一样，最多可有三个锐角.

正解：∵三角形的每一个外角都与相邻的内角互补，

∴当相邻的内角是钝角时，这个外角才是锐角.

又∵三角形中最多只有一个内角是钝角，

∴三角形的三个外角中最多只有一个锐角.

例2如图1，四边形ABCD是一个任意四边形，求证：∠A+∠B+∠C+∠D＝360°.

【解题误区】有的同学因为不能熟练运用三角形的内角和定理，因而不会作对角线AC或BD，将四边形转化为三角形来解决.

正解：连接BD，如图2.

∵∠A+∠ADB+∠ABD＝180°，∠CDB+∠C+∠CBD＝180°，

∴∠A+∠ADB+∠ABD+∠CDB+∠C+∠CBD＝180°×2＝360°.

∴∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°.

例3如图3，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.

【解题误区】在学习了三角形的内角和定理后，我们经常会接触一些复杂的图形.有时由于确定不了角与角之间的关系，很容易把题目做错，而且有时也不能正确添加辅助线，使问题变得扑朔迷离，难以解答.

正解：如图4，连接CD.

∵∠F+∠E＝∠ECD+∠FDC，

∴∠A+∠B+∠BCE+∠ADF+∠F+∠E＝∠A+∠B+∠BCD+∠ADC＝360°.

例4对于下列长度的三条线段：①3，4，6；②1，2，4；③3，7，2；④5，9，4.其中能组成三角形的有（）.

A.1组B.2组 C.3组 D.4组

【解题误区】有些同学是这样解答的：

因为3+4＝7>6，1＋2＝3<4，3＋7＝10>2，5＋9＝14>4，所以①③④组中的线段能组成三角形，故选C.

正解：只有第①组的三条线段能组成三角形，故选A.

评注：出现错误的主要原因是没有真正理解“三角形两边之和大于第三边”，作为判定三条线段组成三角形的条件时，这句话应理解为“当任意两条线段的和都大于第三条线段时，这三条线段能够组成三角形”.比如在第①组中，因为3+4＝7>6，3+6＝9>4，4+6＝10>3，所以长分别为3、4、6的线段能组成三角形.但是，如果有其中两条线段的和不大于（即小于或等于）第三条线段时，就不能组成三角形.比如在第②组中，由1＋2＝3<4即可判定不能组成三角形.不过列三个式子显得麻烦些，常用的方法有两种，一种是任意选三条线段中的两条，如果它们的长度和大于第三条线段的长，并且它们差的绝对值小于第三条线段的长，那么，这三条线段能够组成三角形，否则不能.比如在第③组中，虽然3＋7＝10>2，但是7－3＝4>2，所以长分别为3、7、2的线段不能组成三角形.另一种是找出其中比较短的两条线段长，如果它们的和大于第三条线段的长时，这三条线段能够组成三角形，否则不能.比如在第④组中，4<5<9，而4＋5＝9，所以长分别为5、9、4的线段不能组成三角形.

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