体验不等式（组）模型在经济生活中的应用

肖雯敏

运用方程模型可解决生活中的不少问题，这些问题都涉及等量关系.其实，在日常生产生活中，不等关系更为普遍，利润的优化、方案的设计等方面都有不等关系.研究不等关系的数学模型——一元一次不等式（组）就是处理后者的一个利器.在具体运用时，它既可单独使用，也可与方程等多种知识配合使用.

一、灵活运用一元一次不等式相关知识，可使开支最少

问题1某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种工人的月工资分别为600元和1 000元，现要求乙种工种人数不少于甲种工种人数的2倍.甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使工程队每月支付工资最少？

分析：合理的人力资源调配，可使工厂尽可能减少人力开支.由于甲种工人的工资较低，因此应尽可能多招甲种工人，但由于生产要求所限，又不能全招甲种工人，因此，应该发掘题中的不等关系，以确定甲种工人人数的范围.设招甲种工人x个，乙种工人（150-x）个，依题意得150-x≥2x，x≤50.因为甲种工人的月工资比乙种工人的少，为了节约费用，应尽可能多招甲种工人，而由以上不等式可知，甲种工人最多只能为50人.所以当甲种工人为50人，乙种工人为100人时，可使工程队每月支付的工资最少.

说明：利用不等式求参数的取值范围是生活中经常遇到的.只有懂得根据实际情况以及数量的不等关系，确定参数的取值范围，才能进一步进行最佳选择.

二、综合运用一元一次不等式与方程知识，可使成本最小

问题2“黄海”生化食品研究所欲将甲、乙、丙三种食物混合研制成100千克食品，并规定研制成的混合食品中至少需要44 000单位的维生素A和48 000单位的维生素B．三种食物的维生素A、B的含量及成本如表1所示.

设取甲、乙、丙三种食物的质量分别为x千克、y千克、z千克．

（1）根据题意列出等式或不等式，并证明：y≥20且2x－y≥40.

（2）若混合食品中要求含有甲种食物的质量为40千克，试求此时制成的混合食品的总成本w（元）的取值范围，并确定当w取最小值时，可取乙、丙两种食物的质量．

分析：（1）由题意得x+y+z=100，

结合y≥20可知，20≤y≤40.而此时的总成本w=9x+12y+8z=9×40+12×y+8×（100-40-y）=360+12y+800-320-8y=840+4y.显然，w随y的增大而增大，当y=20时（此时z=40），w取最小值920；当y=40时，w取最大值1 000.即w的取值范围是920≤w≤1 000.

说明：在比较复杂的问题中，要善于利用题中的相等关系和不等关系综合分析问题.在解答本题时，先利用相等关系与不等关系，列出方程和不等式，然后借用解二元一次方程组时所学的消元思想，用代入消元法把问题转化为一元一次不等式，从而确定变量的范围，然后利用函数的增减性加以解决.

三、灵活运用不等式知识，可合理安排生产、营销方案

问题3为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费情况如表2.

经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元.

（1）该企业有几种购买方案？

（2）若企业每月生产的污水量为2 040吨，为了节约资金，应选择哪种方案？

（3）在（2）的条件下若每台设备的使用年限为10年，污水处理厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水处理厂相比较，10年节约资金为多少万元.（注：企业处理污水的费用包括购买设备资金和消耗费）

分析：（1）由题中“购买设备资金不高于105万元”可列不等式组，求A型、B型设备台数的范围，即可确定方案（需符合题意）.（2）在（1）的基础上，比较各种方案在污水量为2 040吨时的资金，资金最少的方案即为所求.（3）此问是在（2）中所确定的方案中代入两个等量关系，再相减即可.具体解答过程请同学们自己来完成.

说明：我们先运用不等式确定初步的可能方案，再进行方案的比较，最终选取最优方案.

其实，在经济生活中运用一元一次不等式的地方还有很多.通过体验不等式模型在生活中的应用，你是否受益匪浅呢？

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”