浅谈数学应用问题的教学

陶民超

传统教材对知识的来龙去脉和数学的应用重视不够，不重视引导学生运用所学知识解决日常生活、生产中遇到的实际问题，导致学生学数学用数学的意识不够，解决实际问题的能力脆弱.新教材对此作了大的调整，增加了具有广泛应用性、实践性的教学内容，重视数学知识的运用，增强数学应用意识，提高学生分析问题、解决问题的能力，把培养学生运用数学的意识贯穿在教材的各个方面.如每一章的序言，都编排了一个现实中的应用问题，引入该章的知识内容，以突出知识的实际背景.如第三章《数列》以趣味话题“国王对国际象棋棋盘发明者奖励的麦粒数的计算”作为章头序言，激发学习欲望，增加教材内容的趣味性.在教材的编排上，既用通俗易懂的语言陈述问题，又附以插图增强直观形象性、趣味性.

在研究具体问题时以实际例子引入课题.高中数学的十章内容中，分别就概念引入、实例说明、数学表示等方面有三十一处都恰当地运用了实际问题和具体情景.如用“不同重量信件的邮资问题”表示分段函数，用功和位移的关系引入向量数量积的概念等.实例引入增强了问题的实际背景，为顺利解决问题作了铺垫.

例题中的应用问题.例题中安排应用问题，一方面可以培养学生阅读能力、分析问题解决问题的能力，培养学生的应用意识，另一方面通过范例讲解，使学生掌握解决应用问题的一般思想和方法.新教材的十章内容中共有 41 个例题是涉及数学应用的，占例题总数的14.6% ，它们都非常接近学生的生活实际和所学知识，难易适中，示范性强.

练习、习题、复习题中增加了应用问题的分量.为使学生巩固所学知识，逐步提高分析问题、解决问题的能力，新教材在练习题、习题、复习题中增加了大量的应用问题.其中练习题有45题，占总数的12.4%；习题有105题，占总数的18.15%；复习题有50题，占总数的14.91%.分别涉及增长率、行程问题、物理、化学、生物问题及储蓄等各个方面，量大面宽，情景新颖，融知识性、趣味性、自主实践性于一体.

阅读材料中也有，问题生动有趣，贴近学生生活.扩大学生阅读面的阅读材料，新教材中共安排了15个，其中有：历史故事方面的，如第二章《函数》的“对数和指数发展简史”，第五章《平面向量》中的“人们早期是怎么样测量地球的半径的？”介绍数学应用方面的，如第八章《圆锥曲线的光学性质及应用》，第十章《抽签有先后，对各人公平吗？》；扩充知识方面的，有第五章《平面向量》中的“向量的三种类型”等.

另外，又新增了“实习作业”和“研究性课题”.为了使学生亲自体验数学知识的应用，灵活运用数学知识解决实际问题，加强学生学习的自主活动性，培养综合运用知识的能力，新教材安排了三次实习作业：一是 “函数关系的实习作业”，让学生调查研究附近商店、工厂、学校潜在的函数问题；二是利用“平面向量”知识解决不能直接测量的距离、方向问题；三是“线性规划的实际应用”.研究性课题是培养学生应用意识和创新能力的重要内容，新教材分别在第三、五、七、九章中安排了四个研究性课题：“分期付款中的有关计算”、“向量在物理学中的应用”、“线性规划的实际应用”、“多面体欧拉定理的发现”.让学生动手操作，选择优化方案，归纳概括，恰当建模，运用理论指导实践.

那么，我们应如何进行应用问题的教学呢？

首先，要重视基本方法和基本解题思想的渗透与训练.为培养学生的应用意识，提高学生分析问题解决问题的能力，教学中应结合具体问题，教给学生解答应用题的基本方法、步骤和建模过程，建模思想.具体可按以下程序进行：（1）先审题.由于数学应用的广泛性及实际问题非数学情景的多样性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的问题，舍弃与数学无关的因素，抽象转化成数学问题，分清条件和结论，理顺数量关系.为此，引导学生从粗读到细研，冷静、缜密地阅读题目，明确问题中所含的量及相关量的数学关系.对学生生疏情景、名词、概念作必要的解释和提示，以帮助学生将实际问题数学化.（2）建模.明白题意后，再进一步引导学生分析题目中各量的特点，搞清哪些是已知的，哪些是未知的，是否可用字母或字母的代数式表示，它们之间存在着怎样的联系.将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建成数学模型，再求解数学问题，得出数学结论.（3）还原.将得到的结论，根据实际意义适当增删，还原为实际问题.

其次，引导学生将应用问题进行归类.为了增强学生的建模能力，在应用问题的教学中，及时结合所学章节，引导学生将应用问题进行归类，使学生掌握熟悉的实际原型，发挥“定式思维”的积极作用，可顺利解决数学建模的困难，如将高中的应用题归为：（1）增长率（或减少率）问题；（2）行程问题；（3）合力的问题；（4）排列组合问题；（5）最值问题；（6）概率问题等.这样，学生遇到应用问题时，针对问题情境，就可以通过类比寻找记忆中与题目相类似的实际事件，利用联想，建立数学模型.

再次，针对不同内容采取不同教法.高中新教材的数学应用问题遍及教材的各个方面，教学时针对不同内容，有的放矢，各有侧重，就会取得较好的效果.

在数学应用问题的教学中，应重视介绍数学知识的来龙去脉.一般情况下，数学知识的产生不外乎实际的需要和数学内部的需要，高中阶段所学的知识大都是来源于实际生活，许多的数学知识都有具体直接的应用，应让学生充分实践和体验这些知识是如何使用的，在此基础上让学生感受和体验数学的应用价值.

学会运用数学语言描述周围世界中出现的数学现象.数学语言可以清楚、简洁、准确地描述日常生活中的许多现象，让学生养成乐意运用数学语言进行交流的习惯，既可以增强学生应用数学的意识，也可以提高学生运用数学的能力.教学中教师应帮助学生形成一个开阔的视野，了解数学对于人类发展的应用价值.在知识实践，能力培养的基础上，教师应主动地向学生展示现实生活中的数学信息和数学的广泛应用，向学生提供丰富的阅读材料，让学生感受到现实生活与数学知识是密切相关.