角平分线的拓展探究

角平分线是初中阶段学习的最基本的图形，它在后面学习的三角形、四边形、圆等几何图形中都有广泛的应用.因此，在角平分线的教学过程中，有必要展开对角平分线的拓展探究.

1 角平分线与角的旋转

当一个角绕其顶点在平面内旋转，如果角平分线所平分的角不变，那么某些角之间的数量关系有时保持不变，有时却随之变化.这就告诉我们，要用发展的眼光看待事物的发展变化，解题思路可以借鉴，但结论可能要随之变化.

例1 已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE（图中所说的角都是小于平角的角）.

（1）如图1，若∠COF＝28°，则∠BOE＝_______°；若∠COF＝m°，则∠BOE＝_______；∠BOE与∠COF的数量关系为_______.

（2）将∠COE绕点O逆时针旋转到如图2所示的位置时，（1）中∠BOE和∠COF的数量关系否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠BOE与∠COF的数量关系.

（3）当∠COE绕点O顺时针旋转到如图3所示的位置时，（1）中∠BOE和∠COF的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请求出∠BOE与∠COF的数量关系.

解析：（1）若∠COF＝28°，因为∠COE是直角，所以∠EOF＝62°.又OF平分∠AOE，

所以∠AOF＝∠EOF＝62°，从而∠BOE＝180°-2∠EOF＝180°-2×62°＝56°.

若∠COF＝m°，

因为∠COE是直角，所以∠EOF＝90°-m°.又OF平分∠AOE，所以∠AOE＝180°-2m°，从而∠BOE＝180°-∠AOE＝180°-（180°-2m°）＝2m°.所以∠BOE＝2∠COF.

（2）存在.理由如下：因为OF平分∠AOE，所以∠EOF=1/2∠AOE=1/2（180°-∠BOE）=90°-1/2∠BOE，从而∠COF＝90°-∠EOF＝90°-（90°-1/2∠BOE）=1/2∠BOE，即∠BOE＝2∠COF.

（3）因为∠EOF＝90°-1/2∠BOE，所以∠COF＝90°+∠EOF＝90°+（90°-1/2∠BOE），于是可得∠BOE+2∠FOC＝360°，所以（1）中∠BOE和∠COF的数量关系不成立.

点评：本题中分别讨论了∠COE在直线AB上方，在直线AB左边及在直线AB右边三种情形，实际上还有∠COE在直线AB下方这种情形，这种情形与∠COE在直线AB上方属于同一种情形，所以没有讨论.

2 角平分线的同质类比

线段中点是将线段分成两条相等的线段，角平分线是将角分成两个相等的角，这两个概念有许多相似之处，将它们放在一起比较，发现它们有相同的规律.如，一条线段被线段上一点分成两条线段，这两条线段中点之间的距离等于原线段长的一半；一个角被一条射线分成两个角，这两个角的角平分线之间的夹角等于原角度的一半；等等.

例2 如图4，已知线段AB＝20 cm，CD＝2 cm，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是AC，BD的中点.

（1）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度；如果变化，请说明理由.

（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图5，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，若∠AOB＝142°，∠COD＝38°，则∠EOF＝_______.由此，你猜想∠EOF，∠AOB和∠COD会有怎样的数量关系，并说明理由.

解析：（1）EF的长度不变.因为E，F分别是AC，BD的中点，所以EC=1/2AC，DF=1/2DB，从而EF＝EC+CD+DF=1/2AC+CD+1/2DB=1/2（AC+BD）+CD=1/2（AB-CD）+CD=1/2（AB+CD）.因为AB＝20 cm，CD＝2 cm，所以EF=1/2×（20+2）＝11（cm）.

（2）∠EOF=1/2（∠AOB+∠COD）.

理由：因为OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，所以∠COE=1/2∠AOC，∠DOF=1/2∠BOD，则∠EOF＝∠COE+∠COD+∠DOF=1/2∠AOC+∠COD+1/2∠BOD=1/2（∠AOC+∠BOD）+∠COD=1/2（∠AOB-∠COD）+∠COD=1/2×（∠AOB+∠COD）.所以∠EOF=1/2（142°+38°）=90°.故答案为：90°.

点评：本题中规律的发现过程，经过了将一个角转化为三个角的和，再将其中两个角利用角平分线转化为所在角的一半，然后提取公因式1/2，再将两角和转化为两角差，最后化简得出结论.

3 角平分线中的新定义

对于新定义问题，首先要明晰新定义的本质含义，然后把新定义问题转化为已学过的旧知识，进而实现问题的突破.

例3 定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角.如图6①，若∠COD=1/2∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角.

（1）如图6①，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝25°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝_______.

（2）如图6②，已知∠AOB＝60°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜60°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角.

（3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图6③叠放，将三角板绕顶点O以3°/s的速度按顺时针方向旋转如图6④，问：在旋转一周的过程中，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由.

解析：（1）依题意，∠COD是∠AOB的内半角，∠AOB＝70°，所以∠COD=1/2∠AOB＝35°.又因为∠AOC＝25°，所以∠BOD＝70°-35°-25°＝10°.

（2）因为∠AOC＝∠BOD＝α，所以∠AOD＝60°+α.因为∠COB是∠AOD的内半角，则∠BOC=1/2（60°+α）＝60°-α，解得α＝20°，所以旋转的角度α为20°时，∠COB是∠AOD的内半角.

（3）在旋转一周的过程中，射线OA，OB，OC，OD能构成内半角.

理由：设按顺时针方向旋转一个角度α，旋转的时间为t.

如图7，若∠BOC是∠AOD的内半角，又∠AOC＝∠BOD＝α，则可以得∠AOD＝30°+α，于是有1/2（30°+α）＝30°-α，解得α＝10°，则t=103 s.

如图8，若∠BOC是∠AOD的内半角，又∠AOC＝∠BOD＝α，则有∠AOD＝30°+α，所以1/2（30°+α）＝α-30°，所以α＝90°.故t=903=30（s）.

如图9，若∠AOD是∠BOC的内半角，∠AOC＝∠BOD＝360°-α，则有∠BOC＝360°+30°-α，可得1/2（360°+30°-α）＝360°-α-30°，所以α＝270°.故t＝90 s.

如图10，因为∠AOD是∠BOC的内半角，∠AOC＝∠BOD＝360°-α，所以∠BOC＝360°+30°-α，所以1/2（360°+30°-α）＝30°+30°-（360°+30°-α），解得α＝350°，所以t=3503 s.

综上所述，当旋转的时间为103s或30 s或90 s或3503 s时，射线OA，OB，OC，OD能构成内半角.

点评：对于新定义问题，首先要明确新定义的本质含义，然后要把新定义问题转化为已学过的旧知识.本题的内半角就要根据图形转化角之间的和差倍分关系，另一方面，本题的第（3）小题有四种情况，解答时不要漏解.

以上通过三个方面对角平分线进行拓展探究，延展了角平分线知识的广度和深度，有利于促进学生深度掌握角平分线知识，为后期的学习奠定基础，同时拓宽了学生的思维路径，促进了学生思维的发展.