一元二次方程根的再认识

一元二次方程是最基本的一类方程，学生不仅要掌握一元二次方程的四种解法，能求出方程的根，而且如果已知方程根的情况，如两个方程的根互为相反数、两个方程的根相同、探索方程根的规律等，如何解答相关问题呢？一方面要求学生能够解含字母系数的一元二次方程，另一方面要求学生具有灵活处理问题的能力，有助于培养学生的思维品质，发展学生的核心素养.

1 用“换根法”求新方程

评注：利用换根法还可得到其他关系根的一元二次方程，如所求方程的根比原方程的根大2，所求方程的根是原方程根的2倍少1等.此外，换根法不仅可以在一元二次方程中使用，还可以在其他类型的方程中使用.

2 根据一元二次方程求代数式的值

可求得未知数与其倒数的和，未知数的平方与未知数平方的倒数的和、未知数的立方与未知数立方的倒数的和以及未知数的四次方与未知数四次方的倒数的和.

3 一元二次方程根的规律探索

公式法、直接开平方法、配方法、因式分解法是求一元二次方程根的常用方法.但对于系数间存在一定规律的一组一元二次方程，它们的根也存在一定的规律，由此，我们可依据规律写出同一类方程的根.

4 有相同根的一元二次方程

当一元二次方程有实数根时，它一定有两个实数根，所以当两个一元二次方程有相同的根时，这两个一元二次方程可能有一个根相同，另一根不同，也可能两个根都相同.两个含字母系数的一元二次方程有相同的根时，如何求字母的值呢？下面结合实例进行探讨.

评注：本题中两个一元二次方程相减后得到的一元一次方程，它的系数为什么可以为0？这是因为当两个一元二次方程有两个相同的根时，这两个一元二次方程实际上就是同一个一元二次方程，所以它们系数相减一定为0.把一元一次方程系数为0时字母的值代入两个一元二次方程，发现它们就是相同的方程，再一次验证了解题思路的正确性.

综上，以上与一元二次方程的根有关的四类问题，是在教材内容的基础上开发的新内容，有利于促进学生对一元二次方程根的再认识，进而拓宽学生的思维路径，提升学生的核心素养.