让学生体验直角三角形三边的平方关系

摘要：运用“算两次”的思想，采用“特殊到一般”的方法，通过两次求直角三角形的面积让学生领悟“研究直角三角形边与边的关系，需借助直角三角形与正方形的面积来进行，并要研究边与边的平方关系”.

关键词：体验；直角三角形；三边；平方关系

在北师版“勾股定理”的教学中，我们常困惑于引入要研究边的关系后，很不自然或常说不清楚、道不明为什么要研究边的平方关系.基于课堂教学要创新的想法，运用“算两次”引入新内容的方式，采用两次算直角三角形面积的方法，沿着“设问引导—提出问题—探索特例—类比、联想正方形及面积—构图、解释—类比、推广—归纳、整理”的思路来设计教学，可自然、顺畅地得出勾股定理.

1 设问引导

师问：你知道有哪些特殊三角形吗？

生答（预设）：等腰三角形，等边三角形，直角三角形.

师问：关于等腰三角形、等边三角形，你知道它们的哪些性质？

生答（预设）：等腰三角形两腰相等、两底角相等，有“三线合一”的性质；等边三角形三边相等、三个内角都相等且等于60°，也有“三线合一”的性质.

师问：前面学习等腰三角形、等边三角形的性质时，我们都是从认识角与角、边与边、边与角，以及三角形内部存在的特殊线段等方面入手来研究的.对于直角三角形，你们能从角与角、边与边两方面研究出一些结论吗？

生答（预设）：有一个角为直角，其余两个锐角互余.

师问：关于直角三角形，你还想知道什么呢？

生答（预设）：直角三角形的边长存在什么关系？

问题呈现：如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，则边a，b，c之间有什么关系？

引导思考：①你研究过类似问题吗？②等腰三角形的性质是如何发现的？（利用轴对称的性质，折叠.）③这个方法适用于研究直角三角形吗？

2 探索特例

环节一 研究特殊的直角三角形

（1）在Rt△ABC中，∠C=90°.若a=b=1，如图2所示，你能写出一个含c的等式吗？

追问1：结合图2，你能求出什么？

生：我能求出这个三角形的面积S_△ABC=1/2AC·BC=1/2.

追问2：你能以AB边为底求该三角形的面积吗？

生：不知道高.

追问3：高可以表示出来吗？

师引或生答：这是个等腰直角三角形，如果过点C作AB的垂线，把△ABC分成两个全等的等腰直角三角形，如图3所示，可得AB边上的高等于12c.

追问4：你能根据图3给出一个关于c的等式吗？

生：因为S_△ABC=1/2c·1/2c=1/4c²=1/2AC·BC=1/2，所以c²=2.（这里运用了“算两次”的思想方法.）

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°.若a=b=2，如图4所示，你能写出一个含c的等式吗？

生：可以类比（1）的方法得出c2=8.

（3）在Rt△ABC中，∠C=90°.若a=1，b=2，如图5所示，你能写出一个含c的等式吗？

设问整理，思考引导：

（Ⅰ）（1）（2）的条件有什么共同点？（都是一个等腰直角三角形.）而（3）的条件与（1）（2）有什么区别？（非等腰直角三角形.）

（Ⅱ）（1）（2）的结果有什么共同点？（斜边的平方等于一个常数，分别为c²=2，c²=8.）

（Ⅲ）c2能表示怎样的一个几何图形的什么量（越简单越好）？

形成共识：c2能表示边长为c的正方形的面积.

环节二 拼（作）图、验证

（Ⅰ）验证（1）中以c为边长的正方形的面积是2.

预设生答：用4个直角边均为1的三角形拼成一个如图6所示的正方形.

（Ⅱ）验证⑵中以c为边长的正方形的面积是8.

预设生答：（类比上面）用4个直角边均为2的三角形拼成一个如图7所示的正方形.

师引：我们也可借助网格来画图，说明上面的拼图是正确的.你能在网格中呈现出刚才的想法吗？

预设生答：如图8所示.

追问：借助图8，同学们有哪些方法可得出图中正方形的面积分别是2和8？

生1：计算出其中一个小三角形的面积，然后乘4.

生2：如图9所示.补成一个大正方形，然后剪去四个和原三角形全等的三角形.

师引：从图8、图9来看，正方形可看成是由四个相同的直角三角形采用不同方法拼接而成的，因此正方形的面积与直角三角形的边长密切关联.

师反问：在Rt△ABC中，∠C=90°.若a=1，b=2，要写出一个含c的等式，能不能也仿照这个方法来进行呢？

若能，请画出图示意.（注意留思考时间并给出方形网格.）

生1：如图10①所示，与图8、图9相比，区别在于中间多出了一个边长为1的小正方形面积，即c²=4×1/2×1×2+1²=5.

生2：如图10②所示，可得c²=（2+1）²-4×1/2×1×2=5.

环节三 类比、巩固

师问：（4）在Rt△ABC中，∠C=90°.若a=2，b=3，你能求出c²吗？你有哪些方法可以求出正方形的面积是13？

生答（预设）：可以利用刚学的两种方法来求，如图11所示.

如图11，可得c²=4×1/2×2×3+1²=13，或c²=（2+3）²-4×1/2×2×3=13.

师引（阶段性总结）：从图8～11来看，每个图中的正方形都可看成是由四个全等的直角三角形以斜边长或两直角边边长之和为长有序拼出的正方形（这个概括是抽象的结果，也是类比解决一般化问题的凭借与基础）.

环节四 归纳、推广

现将上面四个问题列表（表1）如下，思考a，b，c之间有什么联系？

形成共识：a²+b²=c².

3 类比，一般化

师问：在Rt△ABC中，∠C=90°，如图12所示.你能说明a2+b2=c2的正确性吗？

说明与师引：对于直角三角形的直角边长，若不是整数，要用网格来探究边长的关系，显然就不易了.同学们想一想，能不能也用四个全等的直角三角形通过拼图与计算的方法来验证呢？

注意：这个验证，可能有一定的难度，要留一定的思考空间与时间，并课前准备好四个全等的直角三角形，以备演示与理解用.

生1答（预设）：如图13①所示，可得

c²=4×1/2×ab+（a-b）²=a²+b².

生2答（预设）：如图13②所示，可得

c²=（a+b）²-4×1/2×ab=a²+b².

4 整理，形成结论

（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即在Rt△ABC中，∠C=90°，则a²+b²=c².

（2）在探索勾股定理过程中，要学习的经验、方法如下：

从特殊、简单问题入手分析，是解决问题的好方法；遇到不会的问题，要常联想自己会什么；类比已有经验或方法常用来寻找解决问题的突破口.

本课在回忆已有知识的基础上，提出应研究的问题，采用由特殊到一般的思想，精心设计出系列“问题串”，将学生置于再发现的“场景”之中来启思与探究；完成阶段性任务后，重在引导学生形成共识或进行阶段性总结——解决问题的本质内容，并逐渐类比、验证（计算与推理）与推广来实现教学任务.