经历形成过程，促进自然生成

在初中数学法则教学中，“重结果轻过程”的现象普遍存在，大多数教师选择直接将运算法则告知学生，然后让学生硬记、套用.这样学生虽然能够通过模仿和套用解决问题，但是因为缺少思考、探究、归纳等过程，不仅不能真正理解法则、掌握法则，而且会影响学习的兴趣，进而影响思维能力的发展.教学中，若想改变这一局面，教师应重视引导学生经历法则的生成与构建，将直接告知和模仿套用变为自然生成和合作探究，帮助学生真正理解法则的本质，提高综合能力.笔者在教学“多项式的乘法”时，立足学生的已有知识和经验，创造机会让学生经历知识的形成过程，在发展学生数学能力、提升学生素养等方面取得了较好的效果，现将教学过程整理成文，供参考.

1 教学实录

1.1 追根溯源，探寻知识的生长点

师：前面我们学习了单项式乘法，请大家口算下面的题目，并给出运算依据.（课件出示题目）

（1）（-2a²c）（-3bc）；

（2）a（b+c）；

（3）-2c5（c³-3bc+1）.

待学生思考片刻，教师点名让学生回答.

生1：问题（1）是单项式的乘法，利用单项式乘法法则可得（-2a²c）（-3bc）=6a²bc².

师：非常好，表述非常完整.下一题呢？

生2：a（b+c）=ab+ac，它是单项式与多项式相乘，其理论依据是乘法分配律.

师：很好，下一题.

生3：问题（3）也是单项式与多项式相乘，其结果为-2c⁴+6bc²-2c.

师：大家非常棒，不仅没有遗漏，而且对符号的处理非常到位.以问题（2）为例，如果将a换成一个多项式，比如将其换成（a+d），它属于哪一类运算？

生：（齐）多项式与多项式相乘.

师：非常好，今天我们一起走进“多项式的乘法”.

教学说明：教学中以单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘为知识的生长点，以便学生在探索新知的过程中自然地与旧知相类比，这样安排不仅可以让学生通过自主探索得到多项式乘法法则，而且可以帮助学生建构知识体系.同时，从学生已有知识和经验出发，更易于调动学生参与课堂的积极性，从而通过有效的类比构建“前后一致，逻辑连贯”的教学.

1.2 合作探究，经历知识的形成过程

师：（a+d）（b+c）该如何计算呢？请尝试写出计算结果.

教学中，教师让学生先独立思考，然后组内交流，接下来各小组展示汇报.

生4：将（a+d）看成一个整体，这样就将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式，所以有（a+d）（b+c）=b（a+d）+c（a+d），接下来运用分配律转化成单项式乘单项式.

师：非常好，这样从整体视角出发，将问题转化为我们已经理解并掌握的单项式乘多项式问题，运用分配律解决了问题.还有其他解决方案吗？

生5：也可以将（b+c）看成一个整体，即（a+d）×（b+c）=a（b+c）+d（b+c）=ab+ac+db+dc.

师：能否利用我们熟悉的长方形或正方形的面积来诠释结果是否正确呢？

教师适时启发、指导，并预留时间让学生动手操作，然后与学生互动交流.

生6：如图1，构造一个长为（a+d）、宽为（b+c）的长方形，则长方形的面积为（a+d）（b+c）.将长方形按照图1所示的方法进行分割，由此可以将大长方形分割成4个小长方形，它们的面积分别为ab，ac，db，dc，所以（a+d）（b+c）=ab+ac+db+dc.

师：非常好，这样用图形面积直观形象地诠释了以上结果.

师：如果用文字语言来描述多项式乘多项式，你想如何描述呢？

生7：多项式乘多项式就是先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，然后相加.

师：如何用符号语言来描述呢？

生8：（a+d）（b+c）=ab+ac+db+dc.

教学说明：本环节体现以学生为本，将探究新知的主动权交给学生，让学生通过自主探究获得多项式乘法的法则，促进学生思维的自然生长.教学中，引导学生主动类比，亲历知识的形成过程，对运算发展形成清晰的认识，进而加深知识理解，完善个体知识结构.同时，学生从数的角度得到计算结果后，教师又鼓励学生从形的角度加以诠释，从而使抽象的知识变得更加生动化、形象化，让学生充分感悟等积构造恒等式的妙处，有利于培养学生的数形结合意识，激发学生的数学探究兴趣.最后，教师引导学生利用不同的数学语言进行描述，以此在加深知识理解的同时，锻炼学生的数学抽象和归纳概括能力，促进学生数学核心素养的落实.

[HJ1.2mm]

1.3 应用法则，完善个体的知识体系

师：结合以上探究经验，请完成下列计算.（课件出示题目）

（1）（a+2b）（c+d）；

（2）（3x-4）（x+1）；

（3）（2a-b）2.

问题给出后，教师没有直接让学生动手操作，而是让学生先标记、后计算，即先画出多项式的每一项，然后计算.教师带领学生边分析边板书，师生合作完成问题（1）.接下来，问题（2）和问题（3）让学生独立完成，然后师生交流.

师：谁来说说问题（2）的计算结果？

生9：（3x-4）（x+1）=3x²+3x-4x-4=3x²-x-4.

师：这里3x²，3x这两项的符号为什么是正？-4x，-4这两项的符号为什么是负？

教师让学生动口说，并进行归纳总结：积的符号由这两项的符号来确定，即同号得正、异号得负.

师：问题（3）是多项式乘多项式吗？它可以看成什么？

生：（齐）是多项式乘多项式，可以看成是（2a-b）与（2a-b）相乘.

师：结果是？

生10：4a²-4ab+b².

师：通过以上问题的解答，你认为多项式与多项式相乘时，需要注意什么？

教师预留时间让学生归纳总结，并组织学生互动.

生11：计算时要按照一定的顺序进行，做到不重复、不遗漏.

生12：两个单项式相乘时要注意符号，同号得正，异号得负.

生13：相乘后，若有同类项，需要合并.

师：总结得非常好！接下来请同学们自行编写几个多项式与多项式相乘的题目，然后同桌互答.

活动中，教师预留充足的时间让学生编题、做题、改题，教师巡视，并选择几个典型的题目集中演练.

师：我看到有的同学编写的一道题为（a-b）×（2c+b-1），它是多项式与多项式相乘吗？

生：（齐）是.

师：在不考虑同类项的情况下，乘开后有几项？

生14：六项.

师：你是怎么想的？

生15：将（2c+b-1）看成一个整体，则（a-b）×（2c+b-1）=a（2c+b-1）-b（2c+b-1），利用分配律，得到六项.

师：你们还有其他想法吗？

生16：也可以直接运用多项式乘法法则判断，先用第一个多项式的第一项与第二个多项式各项相乘，得到三项，再用第一个多项式的第二项与第二个多项式各项相乘，又得到三项，所以共得到六项.

师：非常好，如果是三项多项式与三项多项式相乘呢？初次乘开得到几项？

生：（齐）九项.

师：我们再看看，下面这道题该如何计算呢？（教师继续出示题目）

（2a-3）（3a+1）-（6a+1）（a-4），其中a=2/17.

问题给出后，教师让学生独立求解，有的学生直接将a=2/17代入计算，有的学生选择先化简，再计算.教师投影展示两种不同的计算过程，并让学生对比分析，由此得出“对于此类问题，先化简再求值更快捷”.接下来教师又给出几道练习帮助学生巩固、强化.

教学说明：练习是巩固知识、强化技能的必要手段.本课教学中，教师没有采用题海战术，而是边操作、边分析、边总结、边设计，不仅达到了巩固和强化的效果，而且活跃了课堂气氛，有利于培养学生的实践能力和创新意识，提升学生的综合学力.

2 教学思考

在新课改的推动下，教师的教学理念、教学策略、教学手段等发生了显著的变化，初中数学教学更加关注学生的主体作用，关注数学思想方法的渗透，关注学生数学核心素养的落实.在本课教学中，教师从学生已有知识和经验出发，引导学生经历完整的认知过程，不仅帮助学生理解并掌握了新知，而且让学生在类比探究中明晰了问题的本质.同时，通过类比将零散的、碎片化的知识有效地联系在一起，有利于优化学生的知识结构，提升学生的数学能力.