“直角三角形”让你想到了什么

摘要：“直角三角形”是初中数学几何部分的内容，既可与几何部分其他知识点结合，又可与代数部分知识点结合.因此，掌握直角三角形的知识点，对解决与之有关的问题非常重要，同时可帮助学生不断完善知识网络.本文中基于课堂实践，以苏科版教材为载体，利用过程演示、例题分析等方式，分享如何由“直角三角形”展开去说，如何构建知识网络.

关键词：直角三角形；知识网络；例题分析

在实际教学中，为了让学生梳理知识和巩固所学知识点，笔者经常与学生开展“知识接龙”游戏，即教师给定一个关键词，然后由学生从该关键词出发说一说与之有关的知识点.这样的活动既活跃了课堂，又帮助学生梳理了知识网络.本文中结合苏科版初中数学教学实际，从“直角三角形”这一关键词出发，谈一谈如何在课堂中开展“知识接龙”游戏，并进行相关例题的分析.

1 活动前的准备

“知识接龙”活动主要是帮助学生梳理知识点，不断构建与完善知识网络，特别适合九年级学生.之所以如此，是因为九年级学生已基本学完苏科版初中数学教材中的内容，他们对代数、几何部分的知识点都有了较深入的了解，这样“知识接龙”的效果会更好，辐射的范围更广；另外，九年级学生的抽象思维、逻辑思维、语言表达能力等都比七、八年级的学生更好，更有利于开展“知识接龙”活动.

笔者认为，“知识接龙”活动的主题可设计为“‘直角三角形’让你想到了什么”，即教师给出的关键词是“直角三角形”.

在确定活动主题后，接下来就要约定活动的规则.受时间的限制，教师可与课代表及学生代表在课前协商活动规则，然后在课堂上公布.其中，主要的几条规则如下：

第一，不能重复说知识点；

第二，尽可能广地辐射；

第三，可说知识点，也可用例题加以分析；

第四，活动最后写出活动中出现的知识点并用图表示它们之间的关系（尝试用思维导图表示）.

2 活动进行中

在活动开始之初，先公布“知识接龙”活动的主题关键词——直角三角形.然后宣布活动规则，并强调活动的“自愿性”“公平性”等原则.其目的在于维持课堂秩序和激发学生参与活动的积极性.笔者建议，公布关键词和宣布规则可由课代表及学生代表负责.让学生管理活动过程，既尊重了他们的主体性地位，又锻炼了他们的组织协调能力等，对他们的成长极为有利.

课代表（学生代表）：同学们，本次活动的主题是“‘直角三角形’让你想到了什么”，关键词是“直角三角形”（板书“直角三角形”）.下面，请同学们围绕该关键词进行知识接龙.

生1：看到“直角三角形”这个关键词，让我想到了八年级上册中的“勾股定理”，它是由直角三角形得到其三边存在a²+b²=c²的数量关系.

生2：听到“勾股定理”，让我想起了“勾股定理逆定理”，它与“勾股定理”互逆，是由三角形三边的数量关系a²+b²=c²证得它是直角三角形，可作为直角三角形的判定方法.（“勾股定理”和“勾股定理逆定理”是八年级上册第三章的主要内容.）

生3：说到直角三角形的判定方法，我脑海中出现了很多，比如勾股定理逆定理、两锐角互余、两直线斜率满足k₁·k₂=-1、直径所对的圆周角是直角等.

生4：两锐角互余是从直角三角形的本质出发，即有一个角是90°或两边互相垂直.“直径所对的圆周角是直角”是与圆有关的性质，在证明和计算中发挥着重要作用.

师：同学们都说得非常好，还有想到其他与“直角三角形”有关的知识点吗？

生5：我想到一个，就是解直角三角形.

生6：我也想到一个，就是“HL”判定.

生7：还有九年级下册的锐角三角函数，也是与直角三角形有关的知识点.

师：同学们的思维真灵活，找到了这么多与直角三角形有关的知识点.其实，与直角三角形有关的知识点还有许多，如菱形的对角线互相垂直、垂直平分线的性质、双垂直模型等.

教师补充学生遗漏的知识点后，有必要出示一些例题让学生思考，进一步强化和巩固与“直角三角形”有关的知识点.

师：同学们，我们现在来看看与以上所说知识点有关的例题，一起巩固所学.

例1 如图1，公路l的同侧有A，B两个送奶站，C为公路l上一个供奶站，CA和CB为供奶站供奶路线，已知AC=8 km，BC=15 km，AB=17 km，∠1=30°.若某人从C处出发，沿公路l行走，速度为2.5 km/h.问：多长时间后此人距B送奶站最近？

【分析与自主探究】（1）△ABC的形状如何？（2）送奶站B距离公路最近点在何处？（3）如何构造图形求点C到该最近点的距离？

【解决问题】如图2，过点B作l的垂线，垂足为D.易得△ABC是直角三角形，∠ACB=90°.由∠1=30°，得∠BCD=60°.在Rt△BCD中，可求得CD=7.5 km，所以7.5÷2.5=3，即3 h后此人距离B送奶站最近.

例2 如图3所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=40°，P是射线BC上一动点（与点B，C不重合），连接AP.过点C作CD⊥AP于点D，交直线AB于点E，设∠APC=α.

（1）若点P在线段BC上，且α=60°，写出∠PAB的大小.

（2）若点P在线段BC上运动，求∠AED的大小（用含α的式子表示）.

（3）若点P在BC的延长线上运动，且α≠50°，写出∠AED的大小（用含α的式子表示）.

【分析与自主探究】要解决第（1）小题，则需利用“直角三角形的两个锐角互余”；第（2）小题中，思考∠APC与∠B，∠PAB存在怎样的数量关系？∠PAB与∠AED存在怎样的数量关系？（3）由“α≠50°可分α＞50°和α＜50°两种情况分类讨论.

【解决问题】（1）当α=60°时，∠APC=60°，由于∠ABC=40°，则∠PAB=20°.（2）如图2，∠PAB=α-40°，由于CE⊥AP，所以∠PAB与∠AED互余，于是求得∠AED=130°-α.（3）当α＞50°时，如图4，在△APC中得到∠CAP=90°-α，由于CD⊥AP，所以∠AED=α-50°.当α＜50°，如图5，方法同上求得∠AED=50°-α.

师：通过上述两道例题，同学们将许多与直角三角形有关的知识点联系了起来，不仅巩固了知识，还不断完善了知识网络.现在，同学们能否将本活动中出现的与直角三角形有关的知识点用思维导图画出来？

生：能.（学生画，教师收集作品.）

师：现在让我们一起来欣赏如图6所示的这幅作品.

3 活动后的反思

“知识接龙”游戏是笔者在课堂中开展的学习活动，是教学实践的一部分.开展这样的活动，将会对学生产生如下积极影响：

首先，有利于构建知识网络.知识网络的构建与不断完善，是学生数学思维与数学习惯形成的过程[1].在构建知识网络的过程中，学生要从某个关键词出发联想与之有关的知识点，所以可以培养学生的数学思维.同时，构建知识网络并不断优化，是一种良好的学习习惯，开展“知识接龙”学习活动有利于学生形成这一良好习惯，并作用于学习.

其次，激发学习兴趣，在“玩”中“学”，在“做”中“学”.学得开心既能让学生保持良好的学习心态，又能帮助学生不断积累知识.通过解题、画思维导图等过程，知识点在活动中得到了体现，学生对知识点能够产生更深刻的理解.同时，画思维导图再现了课堂学习过程，是复习课堂所学的一种方式[2].

最后，体现学生的主体性地位，充分调动学生的主观能动性.由“直角三角形”想到了什么，充分激发学生的兴趣，调动他们进一步思考的积极性，让他们获得进一步学习的内驱力.

总之，给学生一个关键词，让学生从这个关键词出发玩“知识接龙”游戏，既对学生的学习状态或情绪起到了良好的调节作用，又丰富了课堂教学方法，让教学更有效果.

参考文献：

[1]张宏政.一叶一菩提 一图一世界——直角三角形复习课的思考[J].中学数学教学参考，2015（8）：15-17.

[2]顾建锋.构建开放、自主、深刻的拓展课堂——以“直角三角形”拓展课教学为例[J].中国数学教育，2021（Z3）：25-28.