聚焦模型嵌套 促进思维生长

摘要：在教学中注重知识的关联，承前启后，通过模型的镶嵌和精心设置的开放性问题，激发学习兴趣，促进知识生长，提高课堂效率，同时树立建模的思想，提升思维的深度、广度和创新能力，培养创新意识，发展核心素养.

关键词：模型嵌套；模型构建；整合性

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在教学建议中提出要以核心素养的达成为目标促进教学的实施.核心素养具有高度的整体性、一致性和发展性.核心素养主要包括“三会”：会用数学的眼光观察现实世界（抽象能力、几何直观、空间观念），会用数学的思维思考现实世界（运算能力、推理能力），会用数学的语言表达现实世界（数据观念、模型观念）.教师在教学设计和实施时要坚持素养导向，充分关注核心素养在数学教学中的达成情况.近期笔者执教了一节“正方形对角线性质的应用”复习课，通过探究正方形性质的本质，由浅入深构建知识的整体关联，现将这节课的教学及思考整理成文，与读者分享.

1 教学背景分析

1.1 学情分析

学生已掌握正方形边、角、对角线的特殊性质，本节课意在以正方形为背景，生长知识，引领学生构建模型，进一步完善正方形性质的延伸与拓展.

1.2 教学目标

（1）感悟研究几何图形的内容和方法，培养从数学角度发现问题和提出问题的能力，学习用数学的眼光观察世界.

（2）通过精心设计的教学问题，透过现象看本质，在探究中积累经验，学习用数学的思维去思考问题，尝试用数学的语言去表达问题.

（3）回顾反思，体会知识之间的内在逻辑，完善结构，生长知识，构建模型.

1.3 教学重、难点

探究正方形中数学模型的构建、并感悟其中蕴含的数形结合、化未知为已知、分类讨论的数学思想.

2 教学过程

2.1 复习旧知，引入新课

在本节课中，执教教师先复习和创设了如下两个问题情境：

问题1 如图1，两对有相同垂足的线段（共垂足模型），你能得出图形中的哪些数量关系？

问题2 如图2，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，你能得出哪些性质？

①边：四边相等.

角：四个角都是直角.

对角线：对角线相等且互相平分，每一条对角线平分一组对角.

②△AOB，△BOC，△COD，△DOA都是等腰直角三角形且全等，S_△AOB=S_△BOC=S_△COD=S_△DOA=14S_{正方形ABCD}.

追问：如图3，如果将点O移动到点P，你会得出什么结论？

教学说明：通过追问，发散思维，学生能够得出△ADP≌△CDP，△ABP≌△CBP，AP=CP等结论.[KH-1]

变式 如图4，你能求出AP与MN的数量关系吗？

教学说明：在学生熟知模型的基础上，基于学生的最近发展区量身设计的问题顺应流程、符合逻辑.利用变式串联思维，让学生脑海中能够自然而清晰地浮现出相关的解题方法，促进学生知识的生长，得出四边形PMCN为矩形，而矩形的对角线相等，自然地引出辅助线，化未知为已知，学以致用.

2.2 提炼模型，生长思维

（1）一对垂线，构建模型

问题3 如图5，PE⊥PC，点E在线段AD上，你能求出PE与PC的数量关系吗？

思路1：由前面的模型，学生自然想到连接AP，且AP=PC，如图6，自然而然地把问题转化为求AP与PE的数量关系，进而转化为求∠PAE与∠PEA之间的关系.

思路2：如图7，过点P作MN分别与AD，BC垂直，垂足分别为N，M.易得△DNP，△BMP为等腰直角三角形，四边形NMCD为矩形，可得△ENP≌△PMC（ASA），则PE=PC.

（2）两对垂线，模型嵌套

思路3：学生很自然地进行模型嵌套，由PN⊥AD于点N，PM⊥CD于点M，得出∠NPE=∠MPC，四边形NPMD为正方形，可得△ENP≌△CMP，从而PE=PC.

由此得出基本嵌套模型，如图8所示.

追问2：点E还可以在哪里呢？你能得出PE=PC吗？请同学们画出图形，自己尝试.[KH-1]

教学说明：点E还可以在线段AD的延长线，能得出PE=PC，如图9所示.

让学生在熟知模型的基础上，通过分类讨论，提升思维的灵活性与深刻性.

2.3 释疑点拨，拓展提升

问题4 如图10，已知正方形ABCD，点P为对角线BD上一动点，连接PC，过点P作PC⊥PE，交于AD点E，以PE，PC为邻边作矩形PEGC，连接DG.

（1）求证：矩形PEGC为正方形.

（2）①DP与DG有怎样的数量关系？请说明理由.

②DP+DG与BD有怎样的数量关系？

教学说明：通过前面的模型构建，学生在看到题目后，立马可得出PE=PC，所以矩形PEGC为正方形得证.由点C处的双垂直模型，可得得出∠BCP=∠DCG，于是△BCP≌△DCG（SAS），则∠CBP=∠CDG=45°，BP=DG.所以DP⊥DG，DP+DG=DP+BP=BD.

追问3：点E只能在线段AD上吗？点E还可以在哪里？你还能得出上面的结论吗？

教学说明：点E还可以在AD的延长线上，通过前面的模型构建，学生在看到题目后，立马反应出前面证明PE=PC的方法已不适用，所以选择熟悉的辅助线，连接PA，如图11，从而PA=PC，则可转化为证PE=PA，即转化为求两底角∠PAE与∠PEA之间的关系.所以矩形PEGC为正方形得证.根据问题4的证明过程，学生能快速地迁移思路，解决问题.

2.4 思维导图，回顾反思

问题5 同学们，通过今天这节课的学习，你有哪些收获和体会？你能尝试画出思维导图吗？

笔者带领学生一起画出思维导图，如图12所示.

教学说明：通过收获和体会，积极引导学生梳理本节课的脉络，形成思维导图，理解知识通常都是化未知为已知，从低层次到高层次生长.培养学生用数学的眼光观察题目，用数学的思维去思考问题、用数学的语言去表达问题.

3 教学反思

3.1 以知识为核心，实现思维的生长

本节课旨在通过正方形对角线上的一点画一对垂线，引领学生在复习正方形性质的基础上，巩固其基本知识.然后通过改变垂足的位置、增加垂线，帮助学生熟知模型，积累方法，形成经验性的总结，提高课堂效率.在此过程中，留足时间让学生思考，引领学生思维层层递进，视野逐步拓展，促进思维生长.培养学生抽象能力，几何直观、模型观念等核心素养.最后通过知识的整合与串联、归纳，梳理和总结，完善学生思维体系，促进知识的再生长，让学生会思考、会解题.

3.2 以探究为方法，注重知识的整合

数学教学体现在数学活动中，实质是一种提出问题和解决问题的思维活动.在教学设计中，从数学知识的生长过程和学生的认知特点出发，通过在合理的时间点提出有意义、恰当的问题，引导学生去发现知识点之间的联系，积累经验，发展核心素养.以问题引领课堂，唤醒学生化未知为已知的探究欲望，本节课从正方形对角线上的一点出发，开始用一个简单的图形，不断添加条件，化未知为已知，形成经验性的总结，丰富模型，激发学生探究的兴趣.让学生用数学的眼光观察世界.

3.3 以模型为载体，落实核心素养的培养

以模型为载体，有利于探索各个知识点、各个环节之间的相互联系，寻找解题的突破口，从而获得最优解题方案，落实学生核心素养的培养.基于共垂足和正方形模型，促使学生从认识结构出发，充分体会模型构建的本质，引导学生感受数学思想整合的实质，培养学生看待问题的眼光和思考问题能力，以及数学抽象、几何直观和逻辑推理能力.

建立一种在小范围内实用的“模型思维”.对于一些图形复杂、难度较大或综合程度较高的题目，建立模型，模型嵌合显得尤为重要.从长远来看，这符合促进学生数学核心素养的提升，具有较强的现实意义.这种课堂对我们老师也提出了更高的要求，需要我们不断去探索.