追根溯源回归，教学建议引领

摘要：平面解析几何中轨迹方程的求解问题，是平面解析几何模块中的一个基础知识点，也是新高考中的一个基本考点.结合一道高考真题中有关轨迹方程的确定，合理挖掘问题场景与追根溯源，进而从不同数学思维视角切入，探究轨迹方程求解的技巧与方法，合理总结与归纳，指导数学教学与学习.

关键词：曲线；动点；轨迹；特殊值；数形结合

在“三新”（新教材、新课程、新高考）背景下，进一步落实“双减”政策与新改革理念，积极贯彻《深化新时代教育评价改革总体方案》要求.平面解析几何中，有关轨迹问题的求解及其综合应用问题，成为该知识模块中落实“四基”的常见方式，探究数学基础，挖掘问题本质，合理尝试创新，着力关键能力，进而坚持开放创新与数学核心素养导向，更加注重数学创新意识与创新应用等方面的落实与培养.

1 真题呈现

（2024年高考数学新高考Ⅱ卷·5）已知曲线C：x2+y2=16（ygt;0），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为（" ）.

A.x216+y24=1（ygt;0）

B.x216+y28=1（ygt;0）

C.y216+x24=1（ygt;0）

D.y216+x28=1（ygt;0）

此题借助曲线C上任意一点P的运动变化，结合动点到坐标轴的垂线段与中点的确定，借助动点P所满足的条件来确定相应点M的坐标所满足的轨迹方程，实现问题的突破与求解.

2 追根溯源

教材例题" 〔人教A版2019年教材《数学》（选择性必修第一册）第三章“圆锥曲线的方程”第108页例2〕

如图1，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？

（注：当点P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合.）

该例题的分析与解析部分，可以直接参考教材中的对应部分，这里不多加以展开与叙述.

依托高中数学教材中的例（习）题，挖掘问题场景与应用，巧妙设置高考命题，是新高考数学试卷命题的一个重要来源.借助新教材例题与新高考真题这二者之间的比较与分析，回归高中数学教材本质，巧妙追根溯源，更加关注高中数学教材中典型的例（习）题的教学与学习，以及在其基础上的深入探究与变式应用.

巧妙依托高中数学教材这一基本媒介，立足问题根本，对相应知识点、考点加以深度学习、深入研究，从而真正实现高中数学教材的有效应用.

3 真题破解

3.1 解析几何思维

解法1：设点法1.

设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则点P′的坐标为（x0，0）.

由M是线段PP′的中点，得x=x0，y=y02.

因为P（x0，y0）在曲线C：x2+y2=16（ygt;0）上，所以x02+y02=16（y0gt;0）.

把x0=x，y0=2y代入上式，可得x2+4y2=16（ygt;0），即x216+y24=1（ygt;0）.故选择答案：A.

解法2：设点法2.

设点M（x，y），由于PP′⊥x轴，P′为垂足，且M是线段PP′的中点，则有P′（x，0），P（x，2y）.

而点P（x，2y）在曲线C：x2+y2=16（ygt;0）上，则有x2+（2y）2=16（ygt;0），整理可得x216+y24=1（ygt;0）.

所以线段PP′的中点M的轨迹方程为x216+y24=1（ygt;0）.故选择答案：A.

点评：探求平面解析几何中点的轨迹方程问题，常见的基本方法就是通过设点法，构建所求点与已知点之间的关系，进而利用代入消参法来分析并求解对应的轨迹方程.设点法思维中，可以借助不同点之间的关系，以不同视角来合理设置与应用，视角与方向有差异，但目标一致，殊途同归.

3.2 特殊思维

解法3：特殊值验证法.

根据单项选择题的特征，可借助特殊值的选取与巧妙应用来解决问题.如取特殊点P（0，4），结合题意可得点M（0，2）.再

将点M（0，2）的坐标代入题目各选项相应的轨迹方程中去加以验证，可知只有选项A中的轨迹方程满足条件，其他选项中的轨迹方程不满足条件.

故选择答案：A.

点评：在解决一些相关的单项选择题或确定数值的填空题时，可以巧妙以特殊代替一般，借助特殊值思维来分析与处理，使得解题更加简捷，大大节约直接解题中由于逻辑推理或数学运算所需的精力与时间，成为解决相关问题时比较常见的一种基本思维方式.而特殊值思维的依据在于题目的结构特征与形式，解题的关键在于特殊值的选取与巧妙应用，有时由于问题的需要，可能需要多次（两次或三次）进行特殊值的选取与验证.

3.3 数形结合思维

解法4：数形结合法.

依题，点P的轨迹是一个半径为4的圆，结合题中的操作过程可知，点M的轨迹是由点P的轨迹在宽度方向（x轴上）上不变，高度方向（y轴上）上缩小为原来的一半，进而得到对应的点M的轨迹.

通过数形结合，可知点M的轨迹就是一个椭圆，结合如图2所以的图形，即可求得点M的轨迹方程为x216+y24=1（ygt;0）.

故选择答案：A.

点评：根据变化前后对应点所满足的轨迹进行直观分析，挖掘变化前后点的变化规律来确定整体曲线的变形情况，得以直观想象与数形结合.有时利用数形结合思维也可很好地处理平面解析几何中的轨迹及其相关的应用问题.在实际处理此类问题时，大体作出对应曲线的草图，为合理的直观想象与数形结合创造条件，也给问题的直观处理打下基础.

4 变式拓展

变式" 已知曲线C：x2+y2=16（ygt;0），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，若点M满足PM=12PP′，则动点M的轨迹方程为（" ）.

A.x216+y24=1（ygt;0）

B.x216+y28=1（ygt;0）

C.y216+x24=1（ygt;0）

D.y216+x28=1（ygt;0）

答案：A.

该变式问题中的条件“PM=12PP′”，与高考真题中的条件“M是线段PP′的中点”是一致的.因而该变式的解析过程可以直接参考以上高考真题的解析即可.

5 教学启示

5.1 技巧与方法，归纳与总结

平面解析几何中，轨迹方程的求解与综合应用是该知识模块中一个最基本的问题.而熟悉掌握一些基本的技巧与方法，也是基本要求.

（1）代入法（或相关点法）.以上问题中的解法1与解法2用的就是该方法.其是利用动点P（x，y）依赖于另一动点Q（a，b）（该动点在某已知曲线上）的变化而变化，合理构建对应参数之间的关系，通过将参数代入已知曲线方程来达到求解相应动点轨迹方程的目的.

（2）直译法.这也是探求轨迹方程中最为常用的一种技巧方法，从题设条件进行直译，抓住轨迹求解的基本策略——“五步骤”，即建系、设点、列式、代换、证明，通过这五个步骤来构建关系与确定轨迹.

（3）定义法.回归曲线的本质与内涵，联系相应曲线（如圆、椭圆、双曲线或抛物线等）的定义，合理加以联系，确定动点满足某种曲线的相关定义，进而利用对应曲线的定义来分析与求解相应动点的轨迹方程.

（4）交轨法、数形结合法等.

5.2 教学与学习，引导与建议

高中数学教学与学习的根本是必须依托高中数学教材，通过教材来全面学习相关的知识与基本应用.从教材中的典型的例（习）题出发，以问题的学习、深度应用等入手，可以更加契合“三新”背景下的高考改革理念.回归教材也成为新高考背景下做好教学与学习的关键环节之一.

（1）吃透高中数学教材中基本知识点，特别是一些相关的典型例题与练习题.立足问题的根本，合理拓展与变式，举一反三，才是根本所在，而不是大量的题海战术.

（2）基于高中数学教材的相关栏目与资料信息，全面拓展数学基础知识的宽度、深度与广度，借助阅读理解、信息反馈、综合应用等，构建更加完善的知识体系与应用体系，也是高中数学教材的一个重要应用与体现.