一道数量积取值范围题的探究

摘要：涉及平面向量数量积的取值范围（或最值）的求解以及创新应用问题，是高考命题中比较常见的一类基本考查类型.本文中结合一道特殊场景下的数量积的取值范围的求解，立足“数”与“形”等不同数学思维视角加以巧妙切入与应用，剖析不同的解题技巧方法，合理深入拓展变式与研究，有效提升数学思维与能力的高度与维度，有效指导解题研究与复习备考.

关键词：平面向量；数量积；取值范围；坐标；几何

平面向量的数量积，作为平面向量的一个基本概念与基本运算，是平面向量模块的重要内容之一，涉及数量积的确定、取值范围（或最值）的求解等，同时还可以与三角函数、平面几何以及平面解析几何等知识点来综合，应用范围非常广泛，备受各方关注.特别地，涉及平面向量数量积的取值范围（或最值）的求解，是应用最为广泛的一种基本类型，熟练理解并掌握相应的求解策略，是课堂教学与复习备考中的一个基本专题.

1 问题呈现

问题" 已知e为单位向量，向量a，b满足|a－2e|=2，|b－3e|=3，则a·b的取值范围是.

此题以单位向量为问题基本点，结合两不同向量与单位向量间的线性关系的模的形式来创设场景，由此来确定这两个向量数量积的取值范围.

具体解决问题时，要立足平面向量中的几何图形这一“形”的特征，回归数量积这一“数”的属性，进而选取行之有效的方法加以合理切入与巧妙应用，实现问题的突破与求解.

2 问题破解

图1

方法1：坐标法.

如图1，建立平面直角坐标系，令e=（1，0），OA=a，OB=b.

设A（x，y），B（m，n），则由|a－2e|=2，|b－3e|=3可得（x－2）2+y2=4，（m－3）2+n2=9，即点A的轨迹是以O1（2，0）为圆心，半径为2的圆，点B的轨迹是以O2（3，0）为圆心，半径为3的圆.

设A（2+2cos α，2sin α），B（3+3cos β，3sin β），其中α，β∈［0，2π），则

a·b=（2+2cos α，2sin α）·（3+3cos β，3sin β）=（2+2cos α）（3+3cos β）+6sin αsin β

=6+6cos α+6cos β+6cos αcos β+6sin αsin β=6+6cos β+6sin βsin α+6（1+cos β）cos α

=6+6cos β+6sin 2β+（1+cos β）2sin（α+φ）=6+6cos β+62+2cos βsin（α+φ），其中φ为辅助角.

令2+2cos β=λ∈［0，2］，则2+2cos β=λ2，即2cos β=λ2－2.

所以a·b=6+6cos β+62+2cos βsin（α+φ）=6+3λ2－6+6λsin（α+φ）=3λ2+6λsin（α+φ）.而由于sin（α+φ）∈［－1，1］，则有3λ2－6λ≤a·b≤3λ2+6λ，结合λ∈［0，2］，可知3λ2－6λ=3（λ－1）2－3∈［－3，0］，3λ2+6λ=3（λ+1）2－3∈［0，24］，有a·b∈［－3，24］，

当且仅当sin（α+φ）=－1且λ=1，即α=2π3，β=4π3，或者α=4π3，β=2π3时，取得最小值－3；当sin（α+φ）=1且λ=2，即α=0，β=0时取得最大值24.

所以a·b的取值范围是［－3，24］.

点评：解决此类平面向量数量积及其综合应用问题时，回归平面向量“数”的代数属性，借助坐标系的构建，合理引入角参，利用三角函数及其有界性，以及函数（二次函数）的基本性质来分析与处理，给对应关系式的取值范围的求解创造条件.这里平面向量的数量积问题，就是依托三角函数的应用，并结合二次函数的图象与性质加以应用，实现问题的突破与求解.

方法2：几何法.

图2

依题，由于|e|=1，|a－2e|=2，|b－3e|=3，则12a－e=1，13b－e=1.令OC=e，OA=12a，OB=13b，如图2，

则知点A在以点C为圆心的单位圆上，点B也在以点C为圆心的单位圆上.设弦AB的中点为H，结合圆的几何性质可知AB⊥CH.

设CH=d.

利用极化恒等式，可得OA·OB=14［（OA+OB）2－（OA－OB）2］=|OH|2－|AH|2≥（OC－CH）2－（CA2－CH2）=2d2－2d=2d－122－12≥－12，即OA·OB=12a·13b≥－12，则a·b≥－3，当且仅当d=12时，等号成立.

而显然12a·13b=OA·OB≤2×2=4，解得a·b≤24，当且仅当两向量同向时等号成立.

所以a·b的取值范围是［－3，24］.

点评：解决此类平面向量数量积及其综合应用问题时，回归平面向量“形”的几何特征，结合平面几何图形的几何性质，以及数量积的几何意义，综合相关公式加以合理应用.这里巧妙利用平面向量的极化恒等式加以变形，为数量积的放缩创造条件，而数形结合思维是利用几何法解决平面向量问题中最为重要的一种基本思维方法.

方法3：坐标+几何法.

图3

建立平面直角坐标系，如图3，令e=（1，0），OA=a，OB=b.

结合|a－2e|=2，|b－3e|=3，可知向量a，b的终点A，B分别在圆C：（x－2）2+y2=4，圆（x－3）2+y2=9上，其中C（2，0），D（4，0）.

结合平面几何图形的几何性质可知OB=32OB1.

所以a·b=OA·OB=32OA·OB1=32（CA－CO）·（CB1－CO）=32（CA·CB1－CA·CO－CB1·CO+4）=32×

12［（CA+CB1－CO）2－12］+6=34×（CA+CB1－CO）2－3，则当CA+CB1=CO时取得最小值－3，当CA+CB1=－2CO时取得最大值34×（－3CO）2－3=24.

所以a·b的取值范围是［－3，24］.

点评：解决此类平面向量数量积及其综合应用问题时，回归平面向量“数”的代数属性与“形”的几何特征，依托坐标系的构建，数形结合，经常是解决平面向量问题中最为基本的技巧方法.这里坐标法与几何法相互渗透，相互转化，巧妙实现问题的突破与求解.

3 变式拓展

3.1 一般性推广

变式1" 已知e为单位向量，向量a，b满足|a－λe|=λ，|b－μe|=μ，λgt;0，μgt;0，则a·b的取值范围是.

具体的解析过程，可以参考以上问题的方法2或其他相关与推广方法，这里不多加以展开与叙述.

3.2 类比性应用

变式2 "已知e为单位向量，向量a，b满足|a+2e|=2，|b－3e|=3，则a·b的取值范围是.

解析：依题，不妨设e=（1，0），a=（x，y），b=（m，n），则由|a+2e|=2，|b－3e|=3可得（x+2）2+y2=4，（m－3）2+n2=9.

根据柯西不等式，可以得到a·b=mx+ny=（m－3）x+ny+3x≤（m－3）2+n2·x2+y2+3x=3x2+y2+3x=3x2+4－（x+2）2+3x=3－4x+3x=6－x+3x=－3（－x－1）2+3≤3，当且仅当－x=1，即x=－1，亦即a=（－1，3），b=32，332，或a=（－1，－3），b=32，－332时，等号成立.

而显然当a与b反向时，a·b取得最小值，即当a=（－4，0），b=（6，0）时，a·b=－24.

所以a·b的取值范围是［－24，3］.

同样，在变式2的基础上，结合变式1的推广，进一步深入探究与挖掘，在此类问题下，也可以得到一般性推广：

变式3" 已知e为单位向量，向量a，b满足|a+λe|=λ，|b－μe|=μ，λgt;0，μgt;0，则a·b的取值范围是.

4 教学启示

其实，在解决涉及平面向量数量积取值范围（或最值）的求解，以及相应的综合应用问题时，抓住数量积自身或“数”的属性，或“形”的特征，参照不同的应用场景，选择行之有效的技巧方法与解题策略来分析与处理，实现问题的突破与求解.

在实际解题与应用过程中，理解并掌握一些常规的数学思维方式与解题技巧方法，来巧妙处理对应的平面向量数量积问题，或定义优先，或投影直观，或基底转换，或坐标运算，或极化恒等式变形等，使得数量积的取值范围（或最值）问题的解决更加合理、有效、可行、正确、快捷，达到“数”与“形”的紧密结合，从而实现知识与能力的有效融合与全面提升.