追根溯源链接高考，开拓思维一题多解

摘要：有关曲线的对称中心与对称轴是函数图象中对称性的一个重要方面，也是数与形巧妙融合的一个重要场景.结合一道高考模拟题中有关函数所对应曲线的对称中心的确定，展开联想，追根溯源，链接高考，开拓思维，一题多解，借此归纳总结解决此类问题的基本技巧方法，指导数学教学与复习备考.

关键词：函数；曲线；对称中心；奇函数；定义

在高中数学中，研究函数的基本性质时一般要研究函数图象的对称性，而这就离不开相关函数所对应曲线的对称中心与对称轴以及与之相关的其他问题.特别是，涉及一些复杂函数所对应曲线的对称中心问题，有时也是命题的一个基本点，在2024年高考数学全国新高考Ⅰ卷中也有这样的题，在高考复习过程中要加以重视.

1 问题呈现

问题" 已知函数f（x）=ln1x－e2，则曲线y=f（x）的对称中心为.

此题以含有绝对值形式的对数型函数为问题场景，借助函数解析式的给出，确定相关函数所对应曲线的对称中心，全面考查函数的基本概念、解析式、基本性质及函数的图象特征等知识点.

剖析问题的基本类型，合理追根溯源，巧妙链接高考，开拓数学思维，从不同思维视角与应用层面切入，结合不同的技巧方法加以分析与求解，实现问题的突破与综合应用.

2 链接高考

以上高考模拟题借鉴了以下高考真题中第（Ⅱ）问的命题手法，以填空题的形式来设置，考查函数的解析式与基本性质等.

高考真题" （2024年高考数学全国新高考Ⅰ卷·18）已知函数f（x）=lnx2－x+ax+b（x－1）3.

（Ⅰ）若b=0，且f′（x）≥0，求a的最小值；

（Ⅱ）证明：曲线y=f（x）是中心对称图形；

（Ⅲ）若f（x）gt;－2当且仅当1lt;xlt;2，求b的取值范围.

点评：该题依托双变元函数的解析式，利用代数式的结构特征，结合函数对称性的定义与基本性质，确定函数所对应曲线对称中心的坐标，为证明相关函数所对应的曲线的中心对称创造条件.

3 问题破解

方法1：定义域对称法.

依题，函数y=f（x）的定义域为x

x≠0且x≠2e.若曲线y=f（x）是中心对称图形，结合对称性可知曲线y=f（x）的对称中心的横坐标为1e.

因为函数y=f（x）在x=1e有意义，所以曲线y=f（x）的对称中心在曲线y=f（x）上.

又f1e=ln 11e－e2=lne2，所以曲线y=f（x）的对称中心为1e，lne2.

点评：基于研究函数问题时“定义域先行”的思维方式，从曲线的对称中心的横坐标也必是定义域的对称中心这一基本特点来切入，成为解决此类问题的首选技巧方法.此方法适用于函数在相关定义域的对称中心处有意义，此时曲线y=f（x）的对称中心在该曲线上.

方法2：定义法.

依题，函数y=f（x）的定义域为xx≠0且x≠2e.

而f2e－x+f（x）=ln12e－x－e2+ln1x－e2=lne2－ex－e2+ln1x－e2=lne2－ex－e21x－e2=lne24=2lne2.

根据曲线的对称定义，可知曲线y=f（x）的对称中心为1e，lne2.

点评：根据曲线的中心对称定义，在不确定曲线的对称中心是否为曲线y=f（x）上的点时，可以直接利用定义法，通过求解曲线对称中心的纵坐标来转化与应用，是处理此类问题的一种基本思维方法.定义法是考生在实际解题过程中常用的一种技巧方法，适用于具有中心对称性质的所有函数所对应的曲线中的应用问题.

方法3：设点法.

依题，设曲线y=f（x）的对称中心为（m，n）.

根据曲线的中心对称的性质，结合题目条件可得f（2m－x）+f（x）=ln12m－x－e2+ln1x－e2=ln12m－x－e21x－e2=ln1－mex（2m－x）+e24.

根据对称性，可知ln1－mex（2m－x）+e24=2n对定义域内的任意实数x恒成立，所以1－me=0，lne24=2n，解得m=1e，n=lne2.

所以曲线y=f（x）的对称中心为1e，lne2.

点评：根据曲线的中心对称的基本性质，设出曲线的对称中心坐标，借助对称中心代入加以分析与应用，利用定义来转化与求解，是用设点法处理此类问题的通性通法.设点法中，结合函数关系式的变形与转化，针对中心对称点的坐标所对应的参数值，其目的就是让定义域内的x的取值与变化不起作用，由此来确定对应的关系式，求解对称中心的坐标.

方法4：平移法.

依题，函数y=f（x）的定义域为x|x≠0且x≠2e.

将函数f（x）=ln1x－e2的图象向左平移1e个单位长度，可得到fx+1e=ln1x+1e－e2=lneex+1－e2=lne－e2x2（ex+1）=lne2+ln1－exex+1，即fx+1e－lne2=ln1－ex1+ex.右侧函数y=ln1－ex1+ex为奇函数，则其图象关于点0，lne2成中心对称.

所以曲线y=f（x）是关于点1e，lne2的中心对称图形.

所以曲线y=f（x）的对称中心为1e，lne2.

点评：根据中心对称曲线的几何性质，结合函数的定义域，利用函数图象的平移变换，通过奇函数的变换来确定与应用，是用平移法处理此类问题的特殊方法.平移法是基于对称中心的确定的一种动态解题技巧方法，通过函数图象的平移变换与运动情况来寻找具有奇函数特性的函数解析式，由此来确定相应的对称中心.

方法5：导数法.

依题，设曲线y=f（x）的对称中心为（m，n），则函数f（x）的凹凸拐点在（m，n）处取得.

令函数h（x）=ln1x-e2，则h′x=－1x21x－e2=1e2x2－x.令函数g（x）=1e2x2－x，则有g′（x）=1－exe2x2－x2.

当g′（x）=0时，解得x=1e，即m=1e.

将x=1e代入函数f（x）=ln1x－e2中，可得f1e=ln11e－e2=lne2，即n=lne2.

所以曲线y=f（x）的对称中心为1e，lne2.

点评：根据曲线的中心对称的基本性质，曲线在在对称中心的左右两边的凹凸性是相反的，即函数的凹凸拐点就是相应曲线的对称中心.此时需要满足在对称中心处，f′（x）的导数值等于0，即f″（x）=0.如果函数的解析式方便进行求导运算，有时也可采用此类导数法来巧妙确定曲线的对称中心.

4 教学启示

对于一些复杂函数所对应曲线的对称中心问题，应抓住对称性的概念与基本性质，回归函数的图象与性质的本质，利用定义法、设点法、平移法及导数法等借助正确的数学运算与合理的逻辑推理加以应用，进而分析并确定对应的对称中心及与之相关的综合应用问题.