关于“椭圆的几何性质”研究课教学设计的再思考

摘要：椭圆是高中解析几何中最重要的圆锥曲线.椭圆的学习为双曲线和抛物线的学习起到示范作用，同时椭圆也是学生面临的第一条用解析方法研究的圆锥曲线，因此教师在教学上需要有思考，有创新.

关键词：学生视角；教学设计

教学研究需要突破常规，在传统的基础上进行新尝试，利用这些新尝试为教学添加新的选项.“椭圆的几何性质”是高中阶段十分重要的一节，过往很多教师都就此做过研究课.笔者也曾在2018年开设了一节“椭圆的几何性质”的区级研究课，试图从新的角度进行尝试，以供参考.

1 研究课素材的确定

椭圆是学生学习的第一种全新圆锥曲线，研究椭圆的经历将自然地被迁移到研究双曲线与抛物线中.为此，备课组的几位老师历经多次研讨，提供了两种教学设计.第一种设计是以教材为准［1］，一节课讲完范围、对称性、顶点、离心率四条性质，但是要在引入上进行创新，有两种方案.方案一：学生在高一阶段多次经历了函数的学习，学会了如何研究函数，于是类比研究函数的方法研究椭圆；方案二：学生学习椭圆之前学习了直线和圆，初步体验了解析几何中研究曲线的方法，于是可以类比研究圆的方法来研究椭圆.第二种设计是不拘泥于教材，将性质分为两节课，第一节重点探讨对称性和顶点，第二节再研究范围和离心率.本文重点分析第二种设计.

2 研究课主要片段

2.1 复习旧知，引出问题

课上，教师开门见山地回顾了椭圆的定义与方程.随后，结合前期曲线与方程概念的学习，提出了本节课第一个问题——根据椭圆的图形和方程，能否得出椭圆的相关几何性质？这为后续研究铺垫知识基础.

2.2 数形结合，学习新知

课上，学生根据椭圆的图形，自然地观察出了椭圆的对称性.教师提出问题：如何进行严谨证明？进而让学生思考：如何证明直线x=1不是椭圆x2a2+y2b2=1的对称轴？

明确了椭圆的对称轴，相应地就确定了椭圆的顶点.至此，本节课的新知结束.

2.3 交流探究，应用新知

学习了椭圆的对称性与顶点之后，教师布置了一个具有挑战性的问题.

图1

问题1" 已知图1中的两条直线是椭圆的对称轴，请画出椭圆的焦点.（学生交流探讨）

2.4 师生协作，勇攀高峰

明确了给定椭圆对称轴找椭圆焦点的方法后，学生又挑战了一个更高难度的问题.

图2

问题2" 已知方程3x2+3y2－2xy－8=0表示的曲线如图2所示，这个图形是不是椭圆？为什么？

分析：如何证明是椭圆？利用定义，关键是发现焦点的位置.

（1）发现对称轴：曲线关于直线y=x，y=－x对称，原点为对称中心.

（2）明确顶点：顶点A1（－2，－2），A2（2，2），B1（1，－1），B2（－1，1）.

（3）确定焦点：长轴长为4，短轴长为22，于是焦距为22.因此焦点坐标为F1（－1，－1），F2（1，1）.

（4）利用定义验证：曲线上的动点P（x，y）到点F1（－1，－1），F2（1，1）距离之和为4.

如此一来，问题可进一步转化为验证以F1（－1，－1），F2（1，1）为焦点，长轴长为4的椭圆方程为3x2+3y2－2xy－8=0.

由（x+1）2+（y+1）2+（x－1）2+（y－1）2=4.化简计算即可.

2.5 课下延伸，思维不停

在完成了上述两个问题之后，教师布置了课后练习：如何证明方程x416+y4=1表示的曲线不是椭圆？

3 关于本节课教学设计的反思

深度学习本质上强调的是学生需要进行有意义的学习，在这个学习过程中，学生掌握学科的核心知识，理解学习的过程，把握学科的本质及思想方法，形成积极的内在学习动机，成为既具独立性、批判性、创造性又有合作精神、基础扎实的优秀的学习者，成为未来社会历史实践的主人.回顾本节课备课时的经历，一直有一个问题萦绕在笔者的脑海：学生为什么要学习教材里面的这些内容，而这也正是深度学习所强调的.

3.1 从学生视角出发进行教学设计

在2007年人教A版［2］、B版［1］，2020年人教B版［3］教材中，曲线的几何性质紧跟在曲线方程之后被视为一种惯例，从数学研究者的视角看，这是一种自然呈现.学生如何才能像研究者那样进行学习和思考呢？我们希望学生是善于思考的，尤其是在数学学习过程中，必要的质疑有利于学生对数学对象的更深刻认识.对于发展中的高中学生来说，需要把这种研究者的自然变为经过思考之后的理所应当.因此，我们就需要设计相应的问题，能够有效地解决为什么要在学习了方程之后学习曲线的性质.利用具有挑战性的任务，把教学内容变成学生自然的思考素材.正是基于这样的思考，当时的教学做了大胆的尝试.将别人一节课的内容设计成了两节课，根本目的就是希望学生能够理解为什么要研究椭圆的几何性质，尤其是对称性，从而能引导学生从研究的角度进行学习.

3.2 从教学目标出发选择教学设计

不同的教学目标自然会导致不同的教学设计.以知识为目标的教学，学生自行阅读教材即可实现;以方法为目标的教学则需要教师的启发与引导;而以思维为目标的教学则需要设置合适的任务，给学生足够的思维时间与空间，教师在必要的时候给予启发.学生学习数学更重要是学习如何分析解决问题，所以课堂上学生的思维参与程度应该是衡量一节课质量的重要因素.本节课就是试图让学生在任务串、问题串的引领下不断进行思维推进，进而学会正向、逆向分析问题.

3.3 教学设计需要兼顾学生的认知水平

笔者最开始的设想是一上课就明确本节课的研究任务：方程3x2+3y2－2xy－8=0表示的曲线是不是椭圆？为什么？

然后让学生进行尝试研究.由于难度较大，因此允许学生可以借助信息技术进行研究，进而引导学生由方程作图，再由图提猜想，根据猜想倒推椭圆性质，最后利用倒推得到的椭圆性质解决问题.

最初的这种设想过于大胆，对于程度较好的学生来说绝对是一顿思维大餐，但是对于平时思维链条较短的学生较为困难，后来在各位同事的建议下进行了修改，由完全的逆向思考变成有铺垫的正向、逆向相结合的思维线索.

2017年颁布的《普通高中数学课程标准》在2020年进行了修订.新课程标准首次提出了数学核心素养的概念，明确了数学学科需要发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模、直观想象、数据分析六大核心素养.回顾本节课中问题任务的顺利完成，学生的逻辑推理、数学运算、直观想象都会得到发展与提升.

深度学习是落实课程标准要求、实践课程标准的需要.它是一切优秀思想与实践的提炼、总结与普及.从概念上讲，深度学习是学生积极参与、全身心投入、获得健康发展的有意义的学习过程.在这个深度学习的过程中，学生在素养导向学习目标的引领下，聚焦引领性学习主题，展开有挑战性的学习任务与活动，掌握学科基础知识与基本方法，体会学科基本思想，建构知识结构，理解并评判学习内容与过程；能够综合运用知识和方法创造性地解决问题，形成积极的内在学习动机，成为有独立思考能力，善于合作、有社会责任感、具备创新精神和实践能力、能够创造美好未来的社会实践的主人.这节课的教学设计无意间成为了一个深度教学理念的尝试，将来还需要进行更多实践尝试.

参考文献：

［1］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学教材实验研究组.普通高中课程标准实验教科书＼5数学＼5选修2-1）》（B版）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

［2］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书＼5数学＼5选修2-1）（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

［3］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学教材实验研究组.普通高中教科书＼5数学＼5选择性必修第二册（B版）［M］.北京：人民教育出版社，2020.