基于五育融合视域下“概率论与数理统计”混合式教学

摘"要：坚持五育并举、融合育人是实现高等学校高质量发展的重要途径，本文在五育融合的视域下，分析并提出“概率论与数理统计”和五育融合理念协同育人的对策。并以条件概率为例，阐述了如何立足课程教学内容，引用学生熟知的运动健身为背景创设概率问题，挖掘课程育人因素，运用“线上+线下”混合式教学模式，在课堂教学中以智育为导线，融合德育、体育、美育和劳育教育，实现全方位育人，突出理论联系实际的数学原则，提升明辨性思维能力，培养新时代德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，实现提高教学质量和教学效果的目的。

关键词：概率论与数理统计；五育融合；条件概率；混合式教学

“概率论与数理统计”是理工类、经管类等专业大二年级开设的公共课程，也是大学数学基础课程之一。“概率论与数理统计”主要研究了随机现象的规律性问题，考查学生运用概率与统计的方法分析和解决生产生活中实际问题的能力。学生在学习概率论时，常有三难：背公式难、运用难和积分难。因此在教学过程中有以下痛点：一是学生学习内驱力不足，受公共课限制，学生对课程本身不感兴趣，上课抬头率低；二是忽视学生实践研究能力培养，更侧重知识本身，轻实践应用，学生学习后不会利用其解决实际问题；三是五育融合全方位育人工作贯彻还不充分。“概率论与数理统计”具有课程覆盖广、时间节点好和切入点较多的优势［1］。

近两年入学的大学生大部分学习的是“人教2019A版”高中数学教材，其中概率与统计内容与大学“概率论与数理统计”课程内容关联十分紧密，课程的一些基本内容贯穿高中和大学的数学学习。对于大学教师，熟稔高中新教材与大学课程的内在联系十分重要；对于高中教师了解课程思政研究成果，拓宽教学设计与知识应用视野对教学和育人也十分重要。通过合理设计、创设适当的情境，既能培养学生逻辑推理、数学建模等数学素养；又能帮助学生树立正确的人生观、世界观和价值观，促进学生德智体美劳全面发展，促进大学和中学课程思政贯通化建设，从中学阶段培养学生学习兴趣、提高学生解决问题的能力。

为了突破痛点问题、实现课程良好的教学效果，近年来许多一线教师对“概率论与数理统计”的教学进行了改革创新。方茹、王勇等人［2］结合MOOC+SPOC+翻转课堂的线上线下混合式教学，培养和训练学生自主学习能力，提高学习效率和质量。张艳、陈美蓉等人［3］在课程思政理念下，加强知识发生过程教学，以问题为先导，进行“概率论与数理统计”课程的教学改革。本文将基于五育融合的教育理念下，分别从情境设置、教学模式、学习模式和案例设计举例四个部分展开混合式教学理念和教学流程。

一、五育融合的教学情境设置

真实情境的问题设置和解决，能够有效地将五育的要素融合其中，为五育并举、融合育人提供了载体，使主体有可能由此确认自己在有益、明智、健康、美妙、实在地做事。教师要善于运用生活的五育融合力量，利用真实问题情境引导五育融合课堂教学实践，将德、智、体、美、劳自然而然地带入课堂、带入各种理论概念、带入学生的学习生活与问题解决日常［4］。

以设定日常生活、学术科研、国家发展乃至人类社会所面临的各种问题情境为切入点是“概率论与数理统计”这门公共课的一大优势，也是德智体美劳五育融合发展的实施路径之一［5］。例如，在讲授指数分布与方差时，对于经管专业学生，可利用工厂某设备寿命服从指数分布这类经济利润实例，引导学生理论联系实际，加强实践能力的发展，在此课堂中融入了劳育教育。

二、“线上+线下”混合式教学模式

随着教育教学网络技术的飞速发展，显然“线上+线下”混合式教学模式更加适合当今与网络一同成长的“00”后大学生们。线上教学是对线下教学的拓展和延伸，也使师生联系方式更加多元化，有效适应学生的个性化发展需求［6］。所以对于“概率论与数理统计”这门课程，可将学习过程分为以下三步：线上课前准备、线下课堂教学、线上课后拓学。

线上课前准备：利用学习软件布置课前练习题，分析学生已有的知识基础和能力，将错误率较高的知识点划分为教学重点。其中不同章节侧重点不同，如第一章是对高中学过内容的复习，第二章和第三章复习概率密度函数部分的积分求解方法，如有疑问，还可通过MOOC对高等数学积分部分再学习。在后几章的学习前教师将核心内容安排学生预习。

线下课堂教学：通过创设真实问题情境，讲授相关课程，以智育为导线，融合、渗透德育、体育、美育和劳育教育，调动学生学习的积极性，培养学生在真实环境下解决问题的能力，促进学生德智体美劳全面发展。

线上课后拓学：教师布置线上课后作业以及能力培养训练，如能否利用本节课所学知识发现并解决日常生活中或与专业相关的实际问题？这个过程不仅加强了学生对公式、概念的理解，而且提高学生建模素养，提升明辨性思维，培养学生创新实践能力，避免出现学了却不会用的现象。

三、倡导明辨性思维的主动性学习模式

教学痛点中学生缺乏对知识的分析、推论和再创造的能力培养，就是忽略了学生明辨性思维的培养。明辨性思维是指对于某种事物、现象和主张发现问题所在，同时根据自身的思考逻辑做出主张的思考［7］。它是一种更高阶的理性思维方式，是数学教育的目标之一，也是日常生活中所需要的重要能力。

将明辨性思维模式渗透到“概率论与数理统计”中，创设真实问题情境，激发学生学习兴趣，鼓励学生多提问，敢于质疑问题与教材，精于分析处理数据，勇于解决实际问题，引导学生发现随机现象的规律性，构建概率与统计的知识体系，即培养明辨性思维的过程。明辨性思维在于审问、反思和明辨，这也是在养成独立思考、自我负责的思维习惯，拥有精神上的自由与幸福，促进德智体美劳全面发展。

四、五育融合的课程案例设计——以条件概率为例

（一）设计思路

本节课采用基于问题导向的混合式教学模式，课程以大学生熟悉的运动健身为背景展开，以实际背景创设条件概率问题，提高学生学习的积极性，同时又借用篮球和乒乓球比赛中常见问题为题目，灵活运用全概率公式和贝叶斯公式解决实际问题。力求本节课润物无声地帮助学生树立正确的健康观，学会用数学眼光看世界，应用明辨性思维，提高学生发现、分析和解决问题的能力，增强创新实践能力，促进德智体美劳全面发展。从而达到提高教学质量和效果的目的。

（二）教学设计与流程说明

设计概要

实施流程

课前准备

教师利用学习软件安排条件概率练习题，了解学生对本节课内容掌握水平，进而调整教学安排计划

课堂教学

1.条件概率

（1）智育目标：条件概率的定义

（2）体育目标：提升健康意识、树立正确的健康观

（3）思维提升：审问、反思、明辨

近年来，全民健身始终是大众关注的热点问题。随着健康中国的战略深入实施，人们愈加意识到健康的体魄与生活的幸福指数息息相关，通过运动健身，不仅能够强身健体，还能够缓解压力，促进心理健康发展。作为国家的未来，大学生更应加强体育锻炼，许多高校也开展了一系列体育活动，如篮球比赛、校园微马、乒乓球比赛等。众所周知，体育运动中蕴含着许多数学知识，那么体育运动中有哪些概率问题呢？今天让我们来探究体育运动与概率问题

问题1：假设某专业有180名学生，其中男女生比例为1∶5，男女生中平时有运动习惯的分别为50人和30人。从中任选一名学生，问：该生平时有运动习惯的概率

已知该生是女生，求其平时有运动习惯的概率

求解过程：（1）显然是50+30180=49

（2）该专业女生人数为180×56=150，则所求概率为30150=15

追问：这两问中所求概率的含义有什么不同吗

注意第二问中增加了一个前提条件为已知学生是女生，由此给出条件概率的定义

2.乘法公式

（1）智育目标：乘法公式的应用

（2）德育目标：体会乘法公式中化繁为简、分而治之的思想

（3）思维提升：审问、反思、明辨（互动式教学）

问题2：为了推动全民健身活动的开展，着力提高学生综合素质，促进学生全面发展，某高校举办了大学生田径运动会。同时为了确保比赛的公正、公平，学校新引进一套田赛激光测距仪，与原雷达测距仪共同使用，每套测距仪单独使用时，雷达测距仪和激光测距仪的有效概率分别为0.95和0.97，在雷达测距仪失灵的情况下，激光测距仪仍能正常工作的概率为0.93，求两种测距仪至少有一套有效的概率

求解过程：以A表示事件“雷达测距仪有效”，以B表示“激光测距仪有效”，则“两种测距仪至少有一种有效”可表示为A∪B，因为A∪B=A∪A-B，且A和A-B互斥，所以

P（A∪B）=P（A∪A-B）=P（A）+P（A-B）=P（A）+P（A-）P（B|A-）=0.95+0.05×0.93=0.9965

追问：小组讨论，如何将乘法公式进行推广

3.全概率公式

（1）智育目标：能够划分样本空间，应用全概率公式

（2）美育目标：用数学思维解决问题，感受数学的魅力

问题3：据统计，超六成大学生更喜欢球类运动［8］，尤其是篮球运动，每年的高校篮球联赛也会得到广泛关注。若在某次高校联赛上，a、b、c、d四支队伍最后进入四强，等待争夺冠军席位，半决赛上a将对阵c，b将对阵d，在第一场半决赛中，a战胜了c夺得决赛的第一个名额，按照过去比赛记录分析，a战胜b的概率为0.7，战胜d的概率为0.5，而b战胜d的概率为0.5，那么a最后能夺冠的概率有多大

求解过程：设X表示事件“a队夺冠”，Y表示事件“b战胜d”，Z表示事件“d战胜b”。由题可知，P（Y）=0.5，P（Z）=0.5，P（X|Y）=0.7，P（X|Z）=0.5，则P（X）=P（Y）P（X|Y）+P（Z）P（X|Z）=0.5×0.7+0.5×0.5=0.6

4.贝叶斯公式

（1）智育目标：贝叶斯公式的应用，体会全概率公式由因导果，贝叶斯公式执果索因

（2）德育目标：增强民族自豪感。体会原因和结果是对立统一的辩证关系

（3）思维提升：审问、反思、明辨（互动式教学）

问题4：乒乓球被誉为“国球”，一直深受大学生的喜爱。参加乒乓球训练，能够促进身心健康发展，增强团队合作意识和竞争意识。一些球迷也会关注乒乓球选手在接发球不同战术的得分情况。若某乒乓球选手发球抢攻段战术类别主要为发球直接得分、第三板技战术和第五板衔接，得分率分别为98.51%、51.38%和54.16%，使用率分别为11.96%、58.04%和30%。则该选手抢攻段得分的概率是多少

若已知该选手抢攻段得分，那他最有可能使用的技术是什么

求解过程：由题意，设A为“选手得分”，Bi（i=1，2，3）分别为“发球直接得分”“第三板技战术”和“第五板衔接”的使用率，则

（1）由全概率公式有：P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+P（A|B3）P（B3）=0.9851×0.1196+0.5138×0.5804+0.5416×0.3≈0.5785

（2）由贝叶斯公式有：P（B1|A）=P（AB1）P（A）=P（A|B1）P（B1）P（A）=0.9851×0.11960.5785≈0.2037

同理可得P（B2|A）≈0.5155，P（B3|A）≈0.2809，故最有可能使用第三板技战术

追问：这两个问题的区别是什么，你能得到什么结论

采用小组合作的形式，鼓励学生进行讨论和探究

回顾本节课重点，引导学生树立正确的健康观，科学安排体育运动。根据课上学生们的思维习惯创设问题，引发学生思考，拓展思维的深度和广度

课后拓学

（1）智育目标：巩固新知

（2）美育目标：学会用数学眼光看世界

（3）劳育目标：增强创新实践能力

（4）思维提升：审问、反思、明辨

教师首先根据学生能力设置基础题，学生通过学习通平台在线答题。其次提出问题：体育运动中还有哪些概率问题？如何利用本节课的三个公式解决所学专业问题或者生活中实际问题？学生编写问题并给出答案，有代表性的问题将在下次课上集中研讨

鼓励学生提出问题，将复杂的实际问题，经过审慎思考，转化为简单的数学问题，也是培养学生明辨性思维、提升创新能力的过程

结语

基于五育融合视域下“概率论与数理统计”混合式教学有着广阔的研究空间。通过创设真实问题情境，促进学生德智体美劳全面发展只是第一步，还需要建设相匹配的评价体系。本文仅以条件概率为例，引用学生熟知的运动健身为背景创设概率问题，主要讲授条件概率及三个重要公式，以智育为导线，融合、渗透德育、体育、美育和劳育教育，传授知识的同时，培养学生明辨性思维，激发学生的创新能力，注重学生德智体美劳全面发展，将理论知识与五育目标相结合，实现全方位育人。帮助大学生养成良好的生活习惯，树立正确的健康理念，培养明辨性思维，努力成长为社会主义合格的建设者和接班人，也能达到专业课程与德育教育的课程思政合力促进专业发展的目的，提高“德智体美劳”五育教学质量和效果。

参考文献：

［1］曹宏举，何素艳，郭巧丽.概率论与数理统计课程浸入式课程思政教学实践［J］.大学教育，2023（04）：116118.

［2］方茹，王勇，吴勃英.基于MOOC+SPOC+翻转课堂的概率论与数理统计混合式教学实践［J］.大学数学，2018，34（05）：2328.

［3］张艳，陈美蓉，王亚军，等.课程思政理念下概率论与数理统计教学改革的探索与实践［J］.教书育人（高教论坛），2019（12）：8081.

［4］王鑫，鞠玉翠.“五育融合”课堂教学实践：经验、障碍与路向［J］.中国电化教育，2022（04）：8592.

［5］鞠玉翠.基于真实情境问题的评价何以促进五育融合［J］.中国电化教育，2021（01）：1419.

［6］杨洋，刘婷，陈鹏.五育融合视域下线上线下混合式思政课程思政教学的路径探索［J］.中国新通信，2023，25（13）：242244.

［7］钟启泉.“批判性思维”及其教学［J］.全球教育展望，2002（01）：3438.

［8］李华锡，黄菁雷.近五成大学生每周运动不足三次［N］.中国青年报，20230821（006）.

基金项目：齐齐哈尔大学“课程思政”示范课程建设项目（QDJG2021kcsz02）；黑龙江省省属高等学校基本科研业务费项目（145209132）

作者简介：夏强（1997—"），女，汉族，黑龙江密山人，硕士，助教，研究方向：奇点理论。

*通信作者：李强（1980—"），男，汉族，黑龙江齐齐哈尔人，博士，教授，研究方向：奇点理论。