在医用高等数学教学中引入生物数学建模的思考与实践

摘"要：在医学与科技迅速发展的背景下，数学在医学中的应用日益广泛。医用高等数学作为医学生的基础课程，传统教学更多地侧重于理论知识的传授。将生物数学建模思想融入教学中，通过在函数与极限、一元函数微积分学、多元函数微积分学、常微分方程、概率论与数理统计等内容中引入数学模型，如人口增长、肿瘤生长、血药浓度、传染病模型、捕食者食饵模型等，增强了数学的应用性和生动性。此方法不仅能提高学生的学习兴趣和创新思维，还为其未来医学研究和临床实践奠定基础。

关键词：医用高等数学；生物数学建模；常微分方程

一、概述

在医学与科技的发展下，数学在医学领域应用广泛且深入，从疾病诊断、治疗、药物研发到人体生理系统建模、医学影像处理都离不开数学。医用高等数学是医学生的关键基础课程，能够培养学生的数学思维及实际应用能力，但传统的教学方式往往侧重理论知识的传授，尤其是在数学公式推导和计算方法的训练方面。尽管能够让学生掌握扎实的数学基础知识，但难以让学生体会到数学在医学中的实际应用价值，导致学生在学习过程中缺乏足够的动力和兴趣。如何将数学与医学实际问题相结合，已成为人们普遍关注的问题。

生物数学建模是通过运用数学语言和方法来描述生物系统结构、功能和动态行为的过程［1］。通过建立数学模型，可以将复杂的生物现象转化为数学表达式和方程，从而进行定量分析和预测。这些模型可以涵盖从分子和细胞水平到生态系统和全球生物地球化学循环等各个层次的生物系统。例如，在分子生物学中，数学模型可以用来描述基因表达的调控机制；在生态学中，数学模型可以用来预测生物种群的数量变化。

医学领域充满了各种复杂现象和问题，从疾病传播与防控到药物研发与疗效评估，从人体生理系统的动态变化到生物种群的演化规律，这些问题都离不开数学的分析与建模。例如在传染病的研究中，经典的SIR（SusceptibleInfectedRecovered）模型通过建立微分方程组，描述了易感、感染和康复人群在不同时间的数量变化，为制定传染病防控策略提供了重要依据。此外，数学模型还可以用来描述药物在体内的吸收、分布、代谢和排泄过程，有助于优化药物的给药方案，确定最佳给药剂量、给药间隔等。这些实际应用案例充分展示了数学在医学中的巨大价值。

随着信息技术的快速发展，大数据和人工智能在医学领域的应用也日益广泛［2］。生物数学建模可以与这些先进技术相结合，为医学数据分析和疾病预测提供更加精准和高效的方法［3］。例如，利用机器学习算法建立疾病诊断模型，通过对大量医学数据的学习和分析，实现对疾病的准确诊断和风险评估。

将生物数学建模思想融入医用高等数学教学，能够加强数学与医学学科之间的相互渗透，是一种创新且具有重要意义的尝试。本文旨在探究将生物数学建模思想融入医用高等数学教学中的方法和策略，以期为医用高等数学教学改革提供新的思路和参考。通过将生物数学建模思想贯穿于医用高等数学的各个章节，力求为医学生打开一扇通往跨学科研究与创新的大门，培养具有扎实数学基础和医学应用能力的高素质医学人才，为推动医学科学的进步与发展贡献力量。

二、实施策略

医用高等数学包含了众多重要的章节，每章节都有其独特的知识重点和难点。要将生物数学建模思想融入医用高等数学的教学之中，其核心要点在于把医用高等数学各章所涵盖的重点内容与相关的生物数学模型紧密地结合起来。

（一）函数与极限

1.马尔萨斯人口增长模型

在讲解函数概念时，引入马尔萨斯人口增长模型［45］：P（t）=P0ert，其中P（t）表示t时刻的人口数量，P0是初始人口数量，r是人口增长率。该模型是一个典型的指数函数形式，当人口增长率为正时，具有增长迅速的特点。极限讨论：当t→∞时，人口P（t）无限增长，即limt→∞P（t）=∞。

这种情况在自然界中不太现实，因为资源有限会导致增长受限。因此该模型可以引导学生进一步思考资源的有限性对种群增长的影响，引入更复杂的Logistic增长模型。

2.Logistic模型

模型描述了种群在初期快速增长，随后因资源有限趋于稳定的过程，这一模型能够更好地反映种群在现实中的增长规律。设N（t）是时间t时的种群数量，模型表示为［45］：N（t）=K1+Ae－rt。其中K是环境容纳量。随着时间t→∞时，N（t）→K，这就是种群数量的极限。

3.血糖水平的变化模型

血糖水平是随时间波动的，特别是在进食后，血糖水平会迅速升高，随后逐渐下降。血糖水平的变化可以用指数衰减模型来描述，以帮助理解人体的胰岛素调节机制。设血糖浓度G（t）随时间的变化为：G（t）=G0e－kt，其中G0为血糖的初始浓度，k为血糖下降的速率常数。模型描述了血糖水平在进食后逐渐回归正常的过程。在数学上，当t→∞时，血糖浓度G（t）趋向于一个稳定值。

极限不仅是数学中的基础工具，还描述了复杂系统在长期或极端情况下的行为。通过上述数学模型，学生可以更好地将数学概念应用于医学和生态学等领域问题中，进一步增强对函数与极限的掌握。

（二）一元函数微分学

1.肿瘤生长模型

肿瘤的生长通常在早期是快速的，随着肿瘤体积的增大，生长速度逐渐减缓。Gompertz模型常用于描述肿瘤生长的非线性过程［6］。设V（t）表示肿瘤体积，V（t）随时间t的变化情况为：V（t）=V0e－ae－bt。其中V0是初始肿瘤体积，a，b是模型参数。为了得到肿瘤生长速度，对方程进行微分，得到肿瘤体积的变化率：dVdt=abV0e－ae－bt－bt。当肿瘤体积变化率过大时，肿瘤细胞的增殖速度加快，意味着人体处于某种不健康状态，需要进行更密切的医学观察或采取进一步的治疗措施。

2.药物代谢模型

药物进入人体后会在体内进行代谢。假设药物在体内的代谢速率与药物浓度成正比，C（t）表示t时刻体内的药物浓度，k是代谢速率常数，药物浓度随时间的变化模型可以表示为［5］：dCdt=－kC。已知药物的初始浓度和代谢速率常数时，通过求解该微分方程可以预测药物在体内不同时间的浓度，从而为药物治疗提供参考。

3.人体代谢速率模型

人体的基础代谢率是指人体在静息状态下消耗的能量。设代谢速率M（t）随时间t的变化表示为：M（t）=M0e－kt。其中，M0为初始代谢率，k是代谢速率衰减的常数。对该函数进行微分，得到代谢速率的变化速度：dMdt=－kM。模型能够帮助学生分析人体代谢率的变化，并为研究饮食、运动和代谢之间的关系提供理论支持。

微分可以描述系统的变化率，结合上述模型能够帮助理解生物系统的动态行为。这种应用导向的教学方式可以激发学习兴趣，帮助掌握将数学理论应用于现实中的医学和生物学问题。

（三）一元函数积分学

1.血药浓度时间曲线下面积（AUC）计算

对药物浓度随时间的变化模型积分，得到药物浓度函数C（t）=C0e－kt，其中C0为初始药物浓度。在讲解定积分的几何意义时，可以引入血药浓度时间曲线下面积的计算。通过对药物浓度函数C（t）在一定时间区间［0，T］上进行定积分∫T0C（t）dt，能得到血药浓度时间曲线下面积，它是衡量药物在体内暴露程度的重要指标，可以在实际中计算药物的有效剂量及给药方案的合理性［5，7］。

2.动脉血流量的计算

动脉血流量是指每分钟通过动脉的血液体积，通常用于评估心血管系统的健康状况。假设通过动脉的血流速度为v（t），动脉的横截面积为A，则一段时间内通过该动脉的血流量Q可以表示为：Q=A∫t1t0v（t）dt。通过血流量的计算，能够帮助医生判断血管是否狭窄或阻塞，诊断心血管疾病。

上述模型能使学生进一步了解一元函数积分在医学领域中的应用，将数学概念与现实问题结合起来，从而更好地理解数学在解决复杂生物和医学问题中的关键作用。

（四）多元函数微积分学

1.多因素影响疾病风险模型

数学模型可以描述多种因素对疾病风险的共同影响，并利用多元函数分析疾病风险的变化。设疾病风险模型为R（x，y，z），x，y，z表示三种不同因素。通过求偏导数分析每个因素对疾病风险的影响，例如，遗传因素会使某些人更容易患上某种疾病，但良好的生活方式和环境可以降低疾病风险。

2.生物种群的空间分布模型

生物种群在自然界中的分布通常受到地理位置、资源和环境的影响。多元函数可以描述种群在多维空间中的密度分布，并利用偏导数和梯度分析种群的空间变化。以种群在二维空间上的分布为例，设种群密度为P（x，y），x和y为空间坐标，对P（x，y）求偏导数Px和Py，分析种群密度在不同方向上的变化率。当Px为正，说明种群在x方向上的密度增加，可能是因为该方向上有更适宜的生存环境或资源。

多元微积分不仅用于分析复杂系统的动态变化，还能用于优化资源分配、分析空间分布等。上述模型能够帮助理解多元函数微积分在生物系统中的广泛应用，增强对多元微积分的兴趣，并培养解决现实问题的能力。

（五）常微分方程

1.SIR模型

SIR模型是流行病学中的经典模型［4，8］，用于描述传染病在人群中的传播情况。设S（t）表示易感人群数量，I（t）表示感染人群数量，R（t）表示康复人群数量，β为传染率，γ为恢复率，常微分方程组为：

dSdt=－βSI，dIdt=βSI－γI，dRdt=γI

能够描述封闭人口群体中易感者、感染者和康复者的动态变化，分析该模型可以预测疾病的爆发时间、峰值以及最终感染人群的比例，进而揭示传染病在人群中的传播过程。

2.癌症发展模型

癌症发展模型也是一个典型的例子。设癌细胞数量为C（t），免疫系统的响应为I（t），建立以下常微分方程组描述癌细胞和免疫系统之间的相互作用。

dCdt=aC－bCI，dIdt=cCI－dI

其中a，b，c，d为常数。通过分析模型性质，能得到癌细胞和免疫系统的变化情况，为癌症治疗提供一些理论参考。类似地，考虑癌症治疗过程中的药物作用和癌细胞的耐药性发展时，也可以建立一个包含药物浓度和癌细胞耐药性的常微分方程组，求解模型分析不同治疗方案的效果，进而理解常微分方程在医学研究中的应用。

常微分方程不仅是一个数学工具，它还帮助我们描述和预测复杂的生物系统行为。这些实际应用案例可以增强学生对微分方程的兴趣，并培养他们解决生物和医学实际问题的能力。

（六）概率论与数理统计

1.遗传概率模型

在讲解概率论的基本概念（如概率、条件概率等）时［911］，以孟德尔遗传定律为例。例如，在一对相对性状的遗传中，杂合子（AA）自交后子代出现显性性状（AA或AA）的概率为3/4，出现隐性性状（AA）的概率为1/4。通过计算不同基因型组合的概率，理解概率在遗传学中的应用。

2.医学统计中的假设检验模型

医学研究中临床试验通常用于检验某种治疗是否有效。这涉及假设检验和P值的计算，进一步判断实验结果的显著性，避免因样本数据波动引起的错误结论。在讲解假设检验方法时，以比较两种药物治疗效果的临床试验为例。设两种药物治疗后的有效率分别为p1和p2，建立假设检验模型（H0：p1=p2，H1：p1≠p2），根据样本统计量（如z统计量或t统计量）的值判断两种药物的治疗效果是否存在显著差异，进而展现假设检验在医学研究中的应用。

上述模型展示了通过概率分析和统计推断来解决复杂的医学问题，如遗传疾病的风险预测、传染病的传播分析、医学检测结果的准确性评估等。这种应用导向的教学方式将数学理论与实际问题结合起来，增强学生对概率和统计的理解与应用能力。

结论

将生物数学建模思想融入医用高等数学教学是一种创新且具有重要意义的尝试。在医用高等数学的教学过程中，于各章节里引入生物数学建模案例，显著增强了数学与医学学科之间的相互渗透，进而为医学生开启了通往跨学科研究与创新的大门。以此方式，力求培育出拥有扎实数学基础和医学应用能力的高素质医学人才，为推动医学科学的进步与发展贡献力量。学生在学习过程中，能够更深入地理解医学现象背后的数学原理，学会运用数学工具对医学实际问题进行分析和解决，从而提升自身的综合素质与能力。

参考文献：

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［11］王上锐，凌莹颖，凌蓓.再论遗传病中男孩患病与患病男孩概率：从概率学视角分析并总结计算方法［J］.中学生物教学，2023（22）：7274.

作者简介：丛平平（1995—"），女，汉族，黑龙江勃利县人，理学博士，专任教师，主要研究方向为生物数学。

*通信作者：单元闯（1994—"），男，汉族，河南邓州人，工学博士，专任教师，主要研究方向为随机分析及应用。