基于图形计算器的数学探究性学习

摘" 要：通过对图像的特征分析、确定三次函数各种适合的形式，在求解问题的过程中提升学生选择数学模型、运算方向，确定运算规则的能力。利用图形计算器创设数学实验情境，学生猜想和作出对称中心，并且利用图像上的动点动态展现在函数图像上的对称点，概括三次函数的对称中心一般是它的拐点，并用图形计算器给出严格证明，探究其表达式对应的形式（零点式、中心式）。通过这一探究过程，学生积累了数学活动经验，发展了数学核心素养。

关键词：图形计算器；数学；AP微积分；三次函数；对称中心；核心素养；探究性学习

文章编号：1671-489X（2025）01-00-06

DOI：10.3969/j.issn.1671-489X.2025.01.0

1" 关于图形计算器

美国大学理事会的大学先修课程微积分（AP-calculus，也称AP微积分）的课程描述[1]中清晰说明了AP考试将评估学生用图形计算器进行探究的能力，并且提出在AP微积分课程中使用图形计算器的适当例子包括但不限于：

1）通过放缩去显示局部线性；

2）构造一个函数值表格来推测极限；

3）利用图像法研究黎曼和的逼近定积分；

4）通过画泰勒多项式函数图像，理解泰勒级数的收敛区间；

5）绘制一个斜率场，并研究初始条件的选择如何影响微分方程的解。

AP微积分的全球统一考试分为可用计算器的部分和不可用计算器的部分。选择题部分，不可用计算器的试题有30个，考试时间60分钟；可用计算器的试题有15个，考试时间45分钟。解答题部分，不可用计算器的试题有4个，考试时间60分钟；可用计算器的试题有2个，考试时间30分钟。可见其非常重视用技术解决问题，考查学生基于技术思维解决问题的能力。

图形计算器是一种先进的计算器，除了具备基本数学运算的功能外，还提供了图形显示和高级数学运算的功能，通常支持微积分、矩阵、概率统计等运算，可以进行函数绘图，支持动态模拟和跟踪轨迹，可以实时显示数学对象的变化和互动关系，帮助学生更直观地理解数学概念和原理，提高解题能力和直观想象素养。

ELLINGTON[2]进行了一项元研究，对54项关于图形计算器效果的研究进行分析，其中的一个结论是，当图形计算器被包括在评估和教学中时，学生在理解数学概念所需的智力手段方面表现出改进，如在函数和它们的图形之间建立有意义的联系的能力。将图形计算器作为测试和教学的重要组成部分，学生的操作技能和解决问题的能力都得到提高。在所有情况下，图形计算器的使用并不妨碍学生数学技能的发展。使用图形计算器的学生对数学的态度比不使用图形计算器的学生要好。

李海媚[3]通过对两个班级进行对比教学实验（其中一个班使用图形计算器，另一个班未使用），研究图形计算器在三角函数教学中的实际应用。她对测验成绩进行对比分析，总结出在三角函数教学中，使用图形计算器的班级的教学效果有明显改善。她还对学生使用图形计算器的情况做了调查，结果显示，学生更乐意使用图形计算器，他们也体会到了图形计算器对学习起到的帮助作用。

我国国内的考试不能使用图形计算器，一些教师技术素养不高，数据意识不强，很少开展使用技术手段辅助课堂教学的研究，学生使用图形计算器进行数学实验探究的机会很少，在AP微积分考试中存在不善于使用图形计算器解题的薄弱环节。图形计算器具有能够将表达式、图像、数据有机联系起来，从而实现数学对象多元表征的功能，是数学探究的高效工具。任长松[4]指出，数学探究的一般过程是：问题情境—提出假设—探究讨论—评价估计—总结推广。因此，教师要研究图形计算器的功能，要教会学生应用图形计算器探索发现解决数学问题，引导学生通过动手操作、实验验证等方式，探究数学问题的本质和规律。这有助于学生深入理解数学知识，提高解决问题的能力。教师要准确把握核心素养的价值定位，发挥中国学生逻辑思维强的优势，探索AP微积分课程的图形计算器试题的评价功能，探索学生核心素养的培育途径。

2" 三次函数的探究性学习活动

多项式函数是AP微积分的重要内容，三次函数是典型的多项式函数，是研究函数图像及其性质的重要素材，其中蕴含不等式、方程、函数极限、导数等相关知识和数学思想方法，是培养学生数学抽象能力、直观想象能力和逻辑推理能力的重要载体。因此，笔者以三次函数为载体设计综合探究活动，主要任务是根据不同类型的三次函数图像，分析它的截距、单调性、极值等因素，然后确定表达式，再根据图像，利用图形计算器探索它的对称中心，并且证明结论，同时将表达式转换成中心式形式。

2.1" 由图像确定表达式

问题1：三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图像如图1、图2所示，写出f（x）的表达式，并且利用图形计算器验证。

教师创设问题情境，通过TI无线网络教学系统把文件发到学生的图形计算器上，学生分组进行探究。

组1：三次函数四个参数，建立四个方程，可以求解。

组2：因为图像与x轴有三个交点-1，1，3，设三次函数f（x）=a（x+1）（x-1）（x-3），又因为f（0）=

-2，代入可解出a，即：

。

讨论获得共识：首先，如果知道模型，只需要构建含有参数的方程组，解方程求解就行，有几个参数就需要几个方程；其次，如果从实际问题中找出某些特征，可以确定一些参数，就可以减少参数，从而减少运算量。在这里知道三次函数有三个零（交）点，根据多项式的分解定理，可设三次函数f（x）=a（x-x1）（x-x2）（x-x3），再根据纵截距的值来确定a值。

组3：对于问题1.2，从图像上看出它只有一个零点-3，极值点是-1、2，显然它们对应的导数值是0，再加上纵截距为3，可以构造四个方程求解。

设f（x）=ax3+bx2+cx+d，则f ′（x）=3ax2+2bx+c，所以

所以。

组4：因为函数只有一个零点-3，所以表达式有因式（x+3），可以设f（x）=（x+3）（ax2+bx+c）。减少一个参数，构造三个方程求解。

设f（x）=（x+3）（ax2+bx+c），则f ′（x）=3ax2+（6a+

2b）x+3b+c，

所以。

讨论获得共识：这个解法利用了一个零点，减少一个参数，表达式是乘积形式，求导数用到乘法法则，运算过程相对第一种复杂，有些不值得。

提出新问题：能不能根据问题的条件减少更多的参数？大家再次讨论。

组5：从上面的解法出发，我们逆向思考，极值点的导数为零，这里有两个极值点-1，2，是导函数的两个零点，因此设导函数，减少两个参数，其积分就是原函数，从而减少运算量。

设f ′（x）=a（x+1）（x-2）=ax2-ax-2a，所以

那么

解得：。

讨论获得共识：上述三种方法各有优劣：方法1思维最简洁；方法3进行逆向思维，从极值点反过来写出其导数的方程，减少了两个参数，使得方程简洁；方法2只利用了一个零点，减少一个参数，在求导数的过程中使得得到的方程组变得复杂。

解后总结：首先要知道确定三次函数表达式需要四个参数，就要寻找四个独立的条件求解；其次分析图像特征，比如零点、极值点等因素，确定一些参数；最后设出相应的表达式求解，这样把几何特征反映到代数表达式上，可以减少很多计算量。

2.2" 探究三次函数的对称中心

问题2：三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d有对称中心吗？

教师创设问题情境，以问题1.2的函数为例探究它的对称中心，如图3所示。要求学生利用图形计算器，尝试从图像上找出或作出它的对称中心，并且利用图像上的动点P演示说明。

组6：我们觉得有，因为函数有极大值和极小值，如果有对称中心，极大值和极小值这两个点应该关于这个对称中心对称。因此，我们猜对称中心是这两个极值点的中点，于是作出中点M，再作出P点关于M的对称点。拖动P点可以看到对称点P′始终落在函数图像上，如图4所示。

讨论并提出新问题：

1）如果函数没有极值点，是否能确定有没有对称中心呢？

2）我们看着对称点P′落在图像上，它真的落在图像上了吗？用什么方法验证呢？

教师给出函数，引导学生进行探究，如图5所示。

组7：由上面一题知道极值点的中点是对称中心，导函数是二次函数，因此，导函数的对称轴对应的x值是对称中心的横坐标，这里仍然有导函数，也是二次函数，只不过这个二次函数无零点，但是它的对称轴依然存在。这个x值应该是对称中心的横坐标，代入函数表达式可得到纵坐标。这个对称中心应该在函数图像上，函数图像先向上凸着增加，然后过渡到向下凹着增加，这个转折的地方应该就是对称中心，它是函数的拐点，因此可以猜想三次函数的对称中心是图像的拐点。

对于2）：可以验证P′的坐标是否满足函数表达式，满足就能够说明它在图像上。

问题探究：找出这个函数的对称中心，并且证明它是函数图像的对称中心。

组8：求二阶导数得到2x-2=0，解得x=1，计算出f（1）=，所以对称中心是（1，），任意两个关于（1，）对称的点的横坐标可以表示为1-x，1+x，只需要证明它们的纵坐标f（1-x），f（1+x）的平均数是f（1）=就行。

因为，

，

所以。

显然结论成立，说明对称中心是（1，）。

讨论并提出新问题：我们不仅找到了对称中心，还证明了它是对称中心。那么一个一般的三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），它的对称中心是什么？

对称中心应该是，探究方法同前面例子一样，只不过全是参数，为方便计算，令，，用图形计算器计算，看式子是否成立。

组9：大屏幕展示结果，如图6、图7所示，表明函数图像关于点（m，n）对称，说明任意一个三次函数的对称中心是它的拐点，坐标是。

应用强化：试求函数f（x）=x3-3x2+6x-6图像的对称中心。

解：，，所以对称中心是点（1，-2）。

2.3" 确定中心式函数表达式

问题3：能否将三次函数表达式写成中心式？

创设问题情境：二次函数的表达式可以写成顶点式，能否仿照二次函数将f（x）=x3-3x2+6x-6写成相应的形式呢？请大家探究。

组10：二次函数顶点式y=a（x-h）2+k，顶点（h，k），表达式中有a（x-h）2，因此，这里也应该有a（x-1）3，于是可以将式子改写成f（x）=x3-3x2+6x-6=

（x-1）3+3（x-1）-2，三次函数f（x）的图像关于点（1，

-2）对称，函数表达式按照（x-1）展开式的形式写，将没有二次项，常数项就是-2，是对称中心的纵坐标。

讨论并提出新问题：给定任意一个三次函数y=

ax3+bx2+cx+d（a≠0），如果对称中心为（m，n），那么它的表达式可以写成什么形式？

组11：猜想f（x）=a（x-m）3+s（x-m）+n，a≠0。事实上这里s，m，n被a，b，c，d所确定，，，。因此，任意三次函数都能化为f（x）=a（x-m）3+s（x-m）+n。

反过来，如果一个三次函数写成上述形式，我们就能够知道它的对称中心是（m，n）。因此，可以把三次函数的这种形式称作中心式。

讨论获得共识：任意一个三次函数的对称中心是它的拐点，坐标是，任意三次函数都能化为中心式f（x）=a（x-m）3+s（x-m）+n。

应用拓展：

1）三次函数f（x）=x（x-1）（x-a），有绝对值相等、符号相反的极大值和极小值，常数a的值是" " 。（答案：-1，2，）

2）三次函数的图像上存在定点P，过P点的直线与函数图像交于不同于P点的两点M（x1，y1），N（x2，y2），恒有y1+y2为定值y0，则y0=" " 。（答案：）

3）已知三次函数f（x）=x3+3x2+6x+14，若实数a，b满足f（a）+f（b）=20，则a+b=" " 。（答案：-2）

3" 探究性学习活动反思与讨论

3.1" 以落实核心素养为目的设计探究性学习活动

探究性学习活动以三次函数的图像性质与函数表达式形式的关系问题为引领，创设层层深入的探究学习情境，学生在问题情境中主动探究，从特殊到一般，从具体到抽象，从感性到理性，用技术进行数学实验，从直观的图像出发去探索与发现，在几何层面、代数层面、导函数分析层面，应用数形结合的思维来思考，深刻认识三次函数的图像性质与表达式形式的关系。对归纳的结论用纸笔进行推理运算或者应用技术进行验证，最终完成推理论证。

首先通过观察函数的图像，直观地识别出零点和纵截距，联想多项式分解定理，选择零点式形式求解。当图像有三个零点时，这种形式解法最简洁，而当只有一个零点时，再用零点式求解反而复杂了。这是因为需要求它的导数，然后用极值点列方程，由于是以乘积的形式求导数，就变得复杂，增加了运算量。从方程组的求解过程看，用韦达定理列出方程比直接用零点满足方程要简单，原因是韦达定理帮助消去参数。再进一步分析，读出极值点，可以反过来设出导函数的表达式，再利用反导数写出三次函数表达式，最后利用横纵截距列出方程求解。显然这个过程最简洁，因为直接利用两个极值点条件写出表达式，相当于减少两个参数，使得方程个数减少，因而解法简洁。当然，对于三次函数可以先设函数表达式为一般式，根据截距和极值点条件列出相应的四个方程求解。

在上述过程中，学生深刻理解了要确定三次函数表达式需要四个独立条件，如果能够根据图像的特征确定相应的表达式形式，减少参数将使运算更简洁，数学运算和逻辑推理与直观想象素养因此得到充分发展。可见，在运算中，学生需要分析运算对象、选择运算方向、选定运算规则、计算并判断问题结果等，这也需要具有其他数学能力，如用数学模型分析运算对象，用逻辑推理选择运算规则，通过数据分析简化运算过程，通过直观想象选择运算方向与判断运算结果等。

3.2" 利用图形计算器进行数学实验探究，动态展现数学对象多元表征

对同一个数学对象，至少可以进行数和形两种形式的多元表征，并附以情境、操作、动态视觉等其他表征形式。数的表征包括数学中的言语表征（如文字、符号、式子、数字、数学概念、数学定理、数学性质等）、形的表征（主要是指数学中视觉化表征，如图像、图表、实物、教学模型等）。唐剑岚教授[5]的研究表明，通过数学多元外在表征和数学多元内在表征相互间的转化作用，能促进学生对数学概念的理解，有助于学生完善认知结构，提高数学表达能力，提升数学素养。章建跃博士[6]的研究表明，借助信息技术可以实现数学对象变化过程的可视化、连续性，帮助学生发现不变量、规律性。显然，基于多元表征理论的数学教学强调数学对象心理表征的多元性，强调数学对象表征不同方面的相互渗透与必要互补。图形计算器可以将数学对象进行多元表征，并且能够动态连续地展现出来，进而将抽象的数学思维可视化、形象化，从而便于学生进行概括、抽象等数学思维活动，使得学生更容易理解数学，抓住数学的本质，不断提升核心素养。

4" 结束语

在探究对称中心的过程中，教师将课件发给学生，学生观察图像，直观地感受到图像要是对称的话，极大值和极小值对应的点应该对称，于是提出合理猜想：这两个点之间的中点应该是对称中心。于是用计算器作出中点M，再作出P点关于M点的对称点P′，发现P′在函数图像上；拖动P点，改变P点在图像上的位置，发现P′点随之变化，但是依然在函数图像上。

用几何方式验证猜想可能正确，如何证明呢？度量出点M点、P点和P′点的坐标，在运动变化中观察到三者的坐标关系（中点坐标公式），进而分析出证明的思路方法。那么，没有极值的图像有没有对称中心呢？学生经过思考，提出导函数的对称轴位置对应的点就是对称中心，再根据图像进行直观分析，发现图像凸凹性发生转折的点就是函数图像的拐点，即二阶导数为0的点，进而概括出一般的三次函数的对称中心是它的拐点。

由于一般情况参数较多，计算较为复杂，利用图形计算器定义一般的三次函数，按照上述思想方法进行计算证明，得到确定结果，证明了结论，节约了时间。学生的直观想象、逻辑推理素养得到发展，提升了数形结合的能力。因此，教师可以创设基于图形计算器的数学探究学习情境，使学生能够使用图形计算器去探究发现、去证明，体验知识建构过程，积累数学活动经验。

5" 参考文献

[1] AP® Calculus AB and BC[EB/OL].[2023-11-26].https：//apcentral.collegeboard.org/media/pdf/ap-calculus-ab-and-bc-course-and-exam-description.pdf.

[2] ELLINGTON A. A meta-analysis of the effects of"calculators on students’ achievement and atti-tude levels in precollege mathematics classes[J].Journal for Research in Mathematics Education，2003，34（5）：433-463.

[3] 李海媚.也谈TI图形计算器在教学中的应用效果[J].数学教学通讯，2016（3）：2-4.

[4] 任长松.探究式学习：学生知识的自主建构[M].北京：教育科学出版社，2005.

[5] 唐剑岚.概念多元表征的教学设计对概念学习的影响[J].数学教育学报，2010，19（2）：28-33.

[6] 章建跃.信息技术整合与好的数学教学[J].中小学数学（高中版），2012（增刊1）：98.