直觉猜想：数学题海中的灯塔

摘要：牛顿是现代物理学的开创者和奠基人，同时也是非常著名的数学家.他曾经说过，如果没有大胆的猜想，就不会有伟大的发现.波利亚也曾说“先猜后证是大多数的发现之道”.由此说明，直觉猜想是解决数学问题的一种非常重要的方法，是解题者陷入思维黑暗后遇到的一座“灯塔”.跟随这座“灯塔”的指引，就能让问题得到解决.本文中以一道题为例，探究直觉猜想在其中的应用.

关键词：直觉猜想；思维；逻辑；数学

直觉，顾名思义就是指人最直接的察觉，是人们对世界客观事物最迅速而直接的感悟、洞察，在数学上可理解为“灵感”.它是一种顿悟，更是一种创造性思维.猜想作为一种合情推理，是一种高层次的直觉，是一种跳跃性思维，是证明的重要前提.波利亚曾在《怎样解题》中这样提到过“直觉猜想”——想出一个好念头是一种灵感活动，是我们观点上的一次重大突破，是我们看问题方式的一个骤然变动，是在解题步骤中的一个刚刚露头的有信心的预感[1].由此可见，直觉猜想是解决数学问题的过程中不可或缺的“神秘力量”.

1 思维陷入停顿

如图1所示，在正方形ABCD中，E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE=DF，连接EF交边AD于点G.过点A作AN⊥EF，垂足为M，交边CD于点N.若BE=5，CN=8，则线段AN的长为.

本题的条件不多，其一“正方形ABCD”，其二“BE=DF”，其三“AN⊥EF”，其四“BE=5，CN=8”.在这些条件中，真正能用于探索解题思路的只有前三个.此时，学生思考：

求AN的长，可在Rt△ADN中利用勾股定理计算.但是AD和DN的长度都未知.

至此，学生思维陷入停顿，一时间不知如何突破.

2 直觉猜想

当思维陷入停顿，不妨根据图形大胆猜想，同时结合对题中所给条件的认真思考，不妨凭借直觉寻找“灵感”.笔者认为，本题有两个条件值得深思，当然也是“灵感”的来源：

第一，是“BE=DF”这个条件.不妨多思考一个问题——为什么给出“BE=DF”这个条件？或条件“BE=DF”有什么作用？根据解题经验，题目给出两条线段相等，无非有两个作用，一是用来证明全等，二是利用等式的基本性质推导另外两条线段相等.那么，本题是哪一种？结合图形不难发现，是用来证明三角形全等.于是，突破了思维瓶颈，想到了“连接AE，AF并证明△ABE≌△ADF”.

第二，是“AN⊥EF”这个条件.观察图形，猜想“如果此时EM=FM，那么AN就是EF的垂直平分线”，这对解决本题有很大帮助.这种猜想是否成立呢？其实，结合“BE=DF”条件下的猜想，就可发现本猜想正确.不仅如此，还可进一步启发思维——“既然AN是EF的垂直平分线，点A和N又是该直线上的点，那么它们到线段EF的两个端点距离相等，是否可以连接EN”？事实上，这是可以的，并且在问题没有得到解决之前，任何猜想都有利于思维突破.

3 深入探索

在通过直觉猜想后，有些思路得到了突破.于是，根据刚才的直觉猜想，连接AE，AF，EN，再结合题意观察图2进行进一步的探究.

然而，在作辅助线证明两个三角形全等及AN是EF的

垂直平分线之后，不难发现求AN的长度仍存在思维局限，因为仅靠“BE=5，CN=8”，无法计算出AN的长.

既然要依靠“BE=5，CN=8”计算AN的长，那么AN必然与BE，CN存在联系.此时，不妨将思路迁移至最初的“求AN的长，可在Rt△ADN中利用勾股定理计算”，那么一定要思考AD与DN之间的关系.恰巧题中已知CN的长，若设DN=x，那么AD的长就可用关于x的代数式表示.至此，问题迎刃而解.

4 解决问题

解析：连接AE，AF，EN.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD=CD=BC，

∠B=∠C=∠ADN=∠BAD=90°.

又BE=DF，

∴△ABE≌△ADF（SAS）.

∴AE=AF.

∵AN⊥EF，

∴Rt△AME≌Rt△AMF（HL）.

∴EM=FM.

∴AN是EF的垂直平分线.

∴FN=EN.

设DN=x，

∴DC=x+8=AD=BC，FN=x+5.

∵BE=5，

∴CE=x+3.

∵EN=FN=x+5，

在Rt△ECN中，

EC2+CN2=EN2，

∴（x+3）2+82=（x+5）2.

∴x=12=DN.

∴AD=20.

又在Rt△ADN中，AN2=AD2+DN2，

∴AN=122+202=434.

5 启示

通过例题从思维陷入停顿到直觉猜想，再到深入探索，最后解决问题，我们发现当思维受阻时，直觉猜想能帮助引导思维.这时候，直觉猜想就如同数学题海中的“灯塔”一样，指引着迷失的我们朝着正确的解题方向前进.

既然直觉猜想的作用如此之大，那么教师在平时教学工作中如何培养学生的直觉猜想能力呢？笔者结合实践，认为可从以下几方面入手：

（1）看条件，用经验想解法

正如本题利用直觉猜想一样，在看到一个条件之后，教师不妨指导学生先暂停读后面的条件，将该条件在图中标出，然后思考“这个条件在题中有什么作用”等问题，并且尝试由该条件尽可能多地得出结论.待学生由该条件不能想出结论时，再继续读后面的条件，直到所有的条件读完为止.

在本环节中，教师要鼓励学生大胆说出自己的想法，尽可能多地通过条件得出结论，无论该结论是否对解题有帮助[2].因此，这一方面要求教师的课堂是以学生为主体，另一方面要求教师“舍得”给学生时间思考和交流.

更需注意的是，这里思考和交流的内容可以是由条件能得到怎样的结论，也可以是题目的解法.这种解法的交流，给予学生解题的经验，即交流解题经验，让学生在分享与交流中寻找思路突破口.

（2）猜结论，跳出题意限制

笔者经常在教学中和学生玩一种“猜一猜”的游戏，并认为该游戏有利于培养学生的直觉猜想.过程如下：

首先，不看题目要求，只看题目条件.这是跳出题意限制的关键一步，教师先将题目要求遮住，只保留题意和图形.然后，让学生仔细审读题意中每一个条件.在读上一个条件时，尽可能想出与之有关的结论.读到下一个条件时，与上一个结论结合起来思考新的结论.如此继续下去，待最后一个条件审读结束，依据诸多条件、结论的相互联系，学生自己就可得出一些结论，而其中或包括题中的要求，或不包括.若包括，则说明解决了问题；如不包括，则说明比命题者具有更广泛的思路，跳出了本题的思维局限，拥有了更强的分析能力和解决能力.长时间坚持下去，不仅可激发学生的学习兴趣，还能提高他们学习数学的信心[3].最关键之处，在于他们脱离了解题的枯燥，享受了思维突破带来的快乐.

综上所述，直觉猜想作为人的大脑在数学中表现出来的活动，对分析问题、解决问题具有重要作用.因此，在平时授课过程中，教师要有意识地培养学生的直觉猜想，让这种思维活动帮助学生寻找解题突破口，进而不断提高解决问题的能力.

参考文献：

[1]詹羽.例说数学解题中的直觉与猜想[J].青少年日记：教育教学研究，2014（5）：96.

[2]余锦银.先猜后证的数学思想在解题中的应用[J].数学教学研究，2007（10）：21-23.

[3]韦相林.数学解题教学中，培养学生\"猜想\"能力的尝试[J].素质教育论坛，2007（3）：51-52.