中考轴对称问题的常见题型分析与探究

摘要：轴对称问题在中考数学卷面中的占比虽然不大，但经常会考到.这部分内容一般不会单独考查，大多在几何综合题中出现.除选择题中对于对称图形的考查比较简单外，其他涉及图形变换的题目都比较难，有关最值问题的一些模型在有些省份每年必考，需要重点掌握.因此本文中对轴对称问题的常见题型进行分析与归纳，以望帮助学生更全面掌握轴对称问题.

关键词：轴对称；中考；题型分析

1 性质应用题型

1.1 求长度

这类题型需要利用对称轴是两个对应点连线的垂直平分线这一性质，可以结合题目给出的条件，替换已知的线段，然后求出待求线段的长度或某个规则图形的周长［1］.

例1 如图1，平面中∠AOB外有一点P，分别以OA和OB为对称轴作点P的对称点Q和R，连接并延长RQ，分别与OA，OB交于点M，N.已知PM长为5，PN长为6，MN长为8，求线段QR的长.

解：

∵点P，Q关于OA对称，

∴MQ=PM=5.

∵点P，R关于OB对称，

∴RN=PN=6.

∵MN=8，

∴NQ=MN－MQ=8－5=3.

∴QR=RN+NQ=6+3=9.

1.2 求角度

解决求角度类型的题目，关键是运用轴对称的两个图形是全等形这一性质，得到对应角相等，这类题型就迎刃而解［2］.

例2 如图2，已知∠AOB=50°，P为∠AOB内一点，点P关于OA，OB的对称点分别为Q，R，求∠QOR的度数.

解：如图3，连接OP，因为点P，Q关于OA对称，点P，R关于OB对称，所以由轴对称的性质可知

△QOM≌△POM，

△RON≌△PON.

所以∠QOM=∠POM，∠RON=∠PON.

所以∠QOR=2（∠POM+∠PON）=2∠AOB=2×50°=100°.

2 将军饮马题型

这类题型的特征是已知两个定点和一条定直线，当两个定点在定直线的同侧时，要在定直线上确定一点，使得该点到两个定点的距离之和最短［3］.这类问题的求解要运用轴对称的性质，将同侧的两点转为异侧的两点，然后利用两点之间线段最短或三角形三边的关系来解决.

例3 已知直线l和A，B两点，请在直线l上找一点P，使PA+PB最小，并说明理由.

解：（1）如图4-1所示，当A，B两点在直线l的两侧时，因为两点之间线段最短，

所以连接AB，线段AB与直线l的交点即为点P，此时PA+PB最小.

（2）如图4-2所示，当A，B两点在直线l的同侧时，先利用轴对称的性质，作点A关于直线l的对称点A′，再连接BA′，BA′与直线l的交点即为点P，此时PA+PB最小.

3 周长最短题型

周长最短类题型的特征，一般是已知一个定点和两条直线，或者已知两个定点和两条直线，要求在两条直线上各找一个点使构成的三角形或四边形的周长最短［4-5］.解这类问题需结合两点之间线段最短和轴对称的知识，将三角形或四边形的周长转换成一条线段的长，相当于求若干条线段的和最小.

例4 如图5，已知∠AOB内有一定点P，试在OA，OB上各找一点M，N，使得△PMN的周长最短.

解：如图6，根据轴对称的性质分别作出点P关于OA，OB的对称点Q，R，连接QR，

此时，QR与OA，OB的交点即为所要找的点M，N，连接PM，PN，此时△PMN周长最短，即为QR的长度.

4 和最小题型

解决和最小类题型时，若已知直线同侧两点，则作其中一个点关于已知直线的对称点，转化为在已知直线异侧的两点，然后连线找交点［6］.若遇到一点两线或两点两线这类更为复杂的问题时，利用轴对称分别作已知点关于两条直线的对称点，然后连线找交点解决问题.而当要求解差最大问题时，则利用轴对称知识把直线异侧的两点转化为直线同侧的两点，然后作直线找交点［7］.

例5 如图7所示，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，E，F分别是线段BC，DC上的动点.当△AEF的周长最小时，求∠EAF的度数.

解：如图8，作点A关于BC和DC的对称点A′和A″，连接A′A″，交BC于点E，交DC于点F，

则A′A″的长度即为△AEF周长的最小值.

作DA的延长线AH.

∵∠BAD=130°，

∴∠HAA′=180°－∠DAB=50°.

∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°.

∵∠AA′E=∠EAA′，∠FAD=∠A″，

∴∠EAA′+∠A″AF=50°.

∴∠EAF=130°－50°=80°.

5 造桥选址题型

解答造桥选址问题先利用平移化“折”为“直”，再利用异侧两点确定选址位置.

例6 如图9所示，一条河流的宽度为3 m，流经村庄的时候恰好是直角转弯（CC′），A，B两地在东西方向上相距43 m，在南北方向上相距33 m.现要在A，B之间架两座与河岸垂直的桥DD′，EE′，使得从A到B的路程最短，求桥的位置以及最短路程.

解：如图10，作AF⊥CD于点F，使AF=DD′，作BG⊥CE于点G，使BG=EE′.又两座桥与河岸垂直，所以四边形ADD′F与四边形BEE′G均为平行四边形.

而两点之间线段最短，

即GF最短，即当桥建于如图10所示的位置时，从A到B的路程最短，且最短路程为

（43－3）2+（33－3）2+2×3=56（m）.

解与轴对称有关的问题，要抓住轴对称的定义，熟悉轴对称图形的形状特征和轴对称性质的应用［8］.找到问题中存在的轴对称图形，或者连接图形中的对应点构建出轴对称图形，然后运用对称轴与垂直平分线和角平分线的关系，进行线段与线段、角度与角度之间的转换，从而解答问题.

参考文献：

[1]胥建军.抓住轴对称本质 妙解折叠类问题——一道中考题的多解探究[J].中学数学教学参考，2022（36）：24-25.

[2]周泽军，曾海燕.轴对称在线段和最值问题中的运用[J].初中数学教与学，2022（7）：31-33，44.

[3]彭芳芳.深度学习下“将军饮马”问题的教学设计与思考[J].中学数学研究（华南师范大学版），2022（4）：19-22.

[4]周德.初中生数学核心素养培育过程中形象化思维的塑造——以“轴对称”为例[J].求知导刊，2023（29）：92-94.

[5]朱浩.基于“情境化”“去情境化”“再情境化”的初中数学教学——以“轴对称图形”教学为例[J].数学学习与研究，2023（22）：125-127.

[6]李浩威.深度学习理论下初中数学复习课教学策略探究——以《轴对称复习课》为例[C]//广东省教师继续教育学会.2022年度“粤派名师杯”教育教学改革与创优秀论文集（二）.广州：广东省教师继续教育学会，2023：347-350.

[7]朱海峰.初中数学教学中学生几何作图能力的培养策略研究——以教学苏科版“轴对称的性质”时的作图为例[J].数学教学通讯，2023（17）：58-59，82.

[8]巩家聪.基于OBE理念的初中数学几何直观素养培养研究——以“图形与几何”为例[D].汉中：陕西理工大学，2023.