数学教育最重要的一些理念

【摘 要】 这是数学教育最重要的一些理念：（1）“问题解决”及其超越；（2）“为学生的思维发展而教”；（3）多元的视角与“双主体”的教学思想；（4）数学教学的关键；（5）“突出基本问题，坚持辩证立场”；（6）“立足专业成长”.相关论述就集中于这些方面认识的最新发展.【关键词】 数学教育;重要理念;现代发展

将一些理念称为“老话”，是因为它们对于数学教育具有特别的重要性，从而我们也就应时时放在心上；强调“新谈”，则是因为我们又应不断深化自己在这些方面的认识，从而就能够创造出符合时代要求的数学教育.

1 “问题解决”及其超越

这是人们由来已久的一项共识：为了学好数学，一定要认真地做题，也即应当十分重视“（数学）问题解决”.相对于这种一般性的认识，波利亚的相关研究则可被看成代表了认识的重要发展，对此并可从两个方面做出具体说明：

（1）我们应当如何从事“问题解决”的研究？对此我们并可归结为“数学启发法的现代复兴”.后者即是指，尽管不存在所谓的“万能方法”，用之即可有效地解决所有与数学发现有关的问题，我们还不至于只能从心理学角度去从事相关研究，也即停留于纯粹的描述性工作，因为，除去所说的两极对立，我们还可围绕“启发法”做出积极的研究.

由于所谓的“怎样解题表”^[1]即可被看成波利亚所说的“数学启发法”的核心所在，因此，我们也就应当对此予以特别的重视.

（2）波利亚并明确提出了这样一个思想，即是我们应将努力提升学生解决问题的能力看成数学教育的主要目标，尽管从历史的角度看，这一思想又只是在几十年以后才获得了人们的普遍重视，并事实上成为了20世纪80年代在世界范围内广泛开展的“问题解决”这一数学教育改革运动的主要指导思想.

这也正是人们在论及后一发展时常常采用“对于波利亚的重新发现”这样一个说法的主要原因.

其次，尽管我们应当充分肯定波利亚对于数学教育现代发展的重要贡献，但同时也应清楚地看到这样一点：这一方面的认识在很多方面都已超出波利亚达到了更高的水平.对此即可概述如下：

第一，作为“数学解题活动”的具体研究，人们现已清楚地认识到了这样一点：除去必要的知识贮备与对于“数学启发法”的一定了解，解题活动的成败还涉及到另外一些重要的因素，特别是所谓的“元认知”和“观念”，这也就为我们更好地理解解题活动提供了一个新的理论框架.（这方面的主要研究成果可见文[2]或[3]）

这也是促成上述发展最重要的一个原因，即是随着“问题解决”这一改革运动在世界范围内的开展，波利亚的相关思想在很大规模上得到了实践，但其结果却不理想，特别是，尽管学生已掌握了必要的知识和技能，对于相应的解题策略也有了一定了解，但却仍然不能顺利地解决问题，从而就促使人们超出这一范围进行了更深入的研究，即是努力地去发现已往研究所可能忽视的一些因素或方面，这并最终导致了“对于波利亚的超越”.另外，从宏观的角度看，这又应说与人工智能研究的兴起与20世纪80年代前后在西方学术界中出现的“社会—文化热”有直接的联系.具体地说，“元认知”这一概念就正在从前一领域中直接移植过来的，后者则直接促使人们将研究的视角转向了观念和信念等看不见的成分.

第二，这也可被看成“问题解决”这一改革运动给予我们的又一重要启示，即是除去“问题解决”，我们也应清楚地认识“问题提出”的重要性，包括两者之间的辩证关系.还应提及的是，对于“问题提出”的强调也与以下的认识具有直接的联系，即是我们应将提出问题的能力看成创新能力十分重要的一个组成成分，这更已逐步成为了人们的一项共识，即是学校教育应当努力提升学生的创造能力.

第三，即使将“提出问题”也考虑在内，即是统一地去论及“问题的提出与解决”，这也不应被看成“数学活动”的唯一形式，因为，这显然也应被看成后者的又一基本形式，即是“概念的生成、分析与组织”.

就这方面认识的进一步发展而言，我们还应特别提及“问题解决”这一改革运动的指导思想，即是我们不仅应将努力提升学生解决问题的能力看成数学教育的主要目标，而且也应将“问题解决”看成数学教学的主要形式，这也就是指，我们就应按照这样的思路对待全部数学教学工作，包括对教材编写做出彻底的改造.

更一般地说，这事实上也直接涉及到了这样一个问题.即是我们应当如何处理具体数学知识（包括基本技能.下同）的学习与努力提升学生解决问题能力（更一般地说，就是思维能力的发展）这两者之间的关系^[4]？

就后一方面的具体认识而言，除去“问题的提出与解决”不能被看成数学活动的唯一形式这样一点以外，我们还应特别提及中国学者的一个重要贡献：正如20世纪80年代在国内兴起的“数学方法论”的研究与教学实践所已清楚地表明的，我们事实上不应将具体数学知识的学习与数学思维的学习这两者绝对地对立起来，而应努力做好用思维方法的分析带动具体知识内容的教学，从而将数学课真正地“教活、教懂、教深”，也即能够通过这一途径向学生展现“活生生”的研究过程，而不是死的数学知识，并能帮助他们很好理解相关的内容，而不是囫囵呑枣、死记硬背，还可超越具体的知识内容领会内在的思维方法，也即使得相应的思维过程和思想方法对学生而言真正成为“可以理解的、可以学到手和加以推广应用的”^[5].

显然，从上述的角度进行分析，我们也就应当将“解题教学”（包括“提问教学”）看成整体性数学教育工作的重要一环.例如，就只有围绕整体性教育目标进行分析，我们才能清楚地认识以下思想的重要性：“解题教学”必须超越“就题论题”，上升到“就题论法”和“就题论道”，还包括这样一个主张的局限性，即是对于解题活动的“程序化”和“机械化”的不恰当提倡.

2 “为学生思维发展而教”

这是数学教育领域中十分有影响的一个观点，即是认为数学教学主要涉及到了“数学”“教师”与“学生”这样三个方面，从而我们就应将所谓的“三论”（“数学课程论”“数学教学论”“数学学习论”）看成“数学教育学”的主要成分（这方面较有影响的一部著作可见文[6]）.这一观点有一定道理；但在笔者看来，无论是这方面的理论研究或是实际工作，又都应当特别重视数学教育目标的分析，因为，这即应被看成三方面工作的共同基础，特别是，我们即应以此为依据对各个相关主张的正确性做出具体判断.

进而，后一方面的认识当然也有一个不断发展、逐步深化的过程.具体地说，这即可被看成新一轮数学课程改革的一个重要贡献，即是明确提出了所谓的“三维目标”，也即我们应当超出具体知识和技能的学习、并从更高的层面去认识数学教育目标，特别是，所谓的“思维与方法”和“情感、态度与价值观”，尽管就课改开始阶段人们在后一方面的普遍性认识而言，应当说仍然比较肤浅.对此例如由以下的实例就可清楚地看出，尽管其所直接涉及的只是“情感、态度与价值观”.

[例]“给母亲买花”和学生情感、态度与价值观的培养.

“讲到促进学生的情感、态度和价值观的发展，很多老师认为是很空泛的.有这样一个例子，讲的是去花店买花的问题：我要给妈妈买一束花，该怎么买？从表面上看，这里是教学加减运算的问题，这是一种知识和技能.但这里面还隐含着另一层含义：给妈妈买一束花，送她作生日礼物，通过学生的讨论交流，引发了对母亲的一种敬爱的感情，这就是课程标准所倡导的情感、态度和价值观.”

当然，这不是指我们不应利用数学课培养对母亲的感情；恰恰相反，我们在教学中应当针对现实情况在各方面给学生必要的教育，包括努力培养各种积极的情感、态度与价值观，但这显然不应成为数学课的主要追求，乃至因此而导致对于主要目标的偏离.

（在笔者看来，我们或许也可从同一角度对于近期出现的这样一个主张做出自己的分析，即是对于“国数课”的积极提倡.）

再者，就当前而言，我们又应明确肯定这样一个思想的重要性，即是所谓的“素养导向”，这也就是指，我们应将努力提升学生的核心素养看成全部教育工作的主要目标；由于数学教育显然应被看成整体性教育事业的一个组成成分，因此，这也就为我们正确地界定数学教育目标提供了直接指导，也即是我们应当跳出自身的专业、并从更广泛的角度从事分析思考.

当然，这也应被看成一种肤浅的认识，即是认为我们即可将“大教育”的相关论述直接搬用到数学教育领域之中，即如直接对照“核心素养”的“3个方面、6大要素、18个基本要点”对数学课的“好坏”（“先进落后”）做出具体判断，却未能认识到我们应当针对数学教育的特殊性对此做出更深入的分析，也即应当认真地思考什么是数学教育对于提升学生核心素养可以、而且应当发挥的主要作用.更简单地说，即是应当很好处理“出”与“入”之间的关系.

参照波利亚的以下论述读者即可对什么是这方面工作应当采取的基本立场有更好的理解，特别是，我们即应将促进学生的思维发展，尤其是努力提升他们的思维品质看成数学教育的主要目标：“一个教师，他若要同样地去教他所有的学生——未来用数学和不用数学的人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识.对学生灌注有益的思维习惯和常识也许不是一件太容易的事，一个数学教师假如他在这方面取得了成绩，那么他就真正为他的学生们（无论他们以后是做什么工作的）做了好事.能为那些70%的在以后生活中不用科技数学的学生做好事当然是一件最有意义的事情.”（见文[7]）

特别地，依据上述分析我们显然也可引出这样一个结论，即是不应将所谓的“三会”（“会用数学的眼光观察现实世界”“会用数学的思维思考现实世界”“会用数学的语言表达现实世界”）看成数学教育的主要目标，因为，这主要体现了数学的视角，却未能实现必要的超越.

对照比较读者即可对上面的论述有更好的理解：

（1）如果说“帮助学生逐步地学会数学地思维”（这并可被看成“三会”的核心所在）集中体现了数学的视角，那么，我们在当前就应更加提倡这样一个主张，即是应当帮助学生“通过数学学会思维”.

（2）如果说语文教育的主要任务是用诗意的语言感染学生，从而培养学生的爱心，并能很好地学会表述和交流，那么，数学教育的主要任务就是用深刻的思想启迪学生，从而使学生变得更加聪明，更加乐于思考，善于思考.

另外，依据上述分析我们也可很好地理解当前为什么又应积极地提倡“数学深度教学”，因为，这即可被看成为数学教育如何能够很好落实“素养导向”指明了具体的途径：我们应当超越具体知识和技能深入到思维的层面，由具体的数学方法和策略深入到一般性的思维策略与思维品质的提升，我们还应帮助学生由主要是在教师（或书本）指导下进行学习逐步转变为主动学习，包括善于通过同学间的合作与互动进行学习，从而真正成为学习的主人.（详可见文[8]）

还应提及的是，文化的视角也为我们更深入地认识数学学习的价值提供了重要启示：这直接关系到了数学教育工作者如何能够更好地承担起自己的社会责任，特别是，我们即应通过自己的教学使学生由理性思维逐步走向理性精神，成为真正的理性人，包括通过这一途径努力提升中国社会的整体水准.应当强调的是，从这一角度我们也可清楚地认识片面强调数学应用价值的局限性.（详可见文[9]）

最后，依据上述分析我们还可引出这样一个结论：这正是我们在当前面临的一个重要任务，即是应当努力做好“数学教育学的当代重建”，这也就是数学教育实现专业化最重要的一步.

3 多元的视角与“双主体”的教学思想

什么是数学学习与教学活动的基本性质？为了回答这一问题，应当首先强调这样一点：相对于刻意地去寻找某种绝对性的解答，即如所谓数学学习或教学活动的本质，我们应当更加重视视野的扩展，也即应当采取多元的视角，从而获得更加全面和深刻的认识.

这事实上也可被看成国际数学教育领域在20世纪最后20、30年的主要发展趋势，即是引入了更多的研究视角.当然，作为必要的平衡，我们也应十分重视必要的聚焦，从而更好地实现认识的发展与深化.例如，在笔者看来，我们就应从这一角度去理解国际数学委员会时任秘书长尼斯在论及数学教育研究未来发展时所提出的以下建议：在过去30年中，数学教育研究的发展主要表现为领域的扩张，也即致力于不遗漏掉任何对于数学的教和学可能具有重要影响的因素；但今天我们则应更加注意适当的聚焦，也即对于“复杂性的合理归约”^[10].

在笔者看来，以下就是关于数学学习活动最重要的一些认识：

（1）按照认知的视角、特别是建构主义的观点：数学学习主要应当被看成一个意义赋予的活动，也即如何能够依据主体已有的知识和经验使得新的学习内容对主体而言真正成为有意义的；进而，从发展的角度看，这主要地又应被看成一个不断优化的过程，也即主要表明为纵向的发展，而不是横向的扩展，也即知识与技能的简单积累.

（2）从文化的视角看，数学学习主要又应被看成一个文化继承的过程，这并就为所说的“优化”指明了主要方向.在此我们还应清楚地认识到这样一点：学生数学水平的提升主要依赖后天的系统学习，更离不开教师的直接指导.应当强调的是，从后一角度我们显然也可清楚地看出关于“以学为主”的各种主张的局限性.

（3）按照社会学的视角，数学学习与一般学习一样，都意味着“身份的界定与改变”.但这又应被看成一种过于简单化的观点，即是认为我们应当积极地提倡“教师与学生在学习过程中的平等地位”，因为，这即可被看成“知识就是权力”这一普遍性真理在这方面的直接应用^[11].

应当再次强调的是，相对于单一地去强调上述的某个观点或其它观点，我们应当更加注重不同的视角究竟为这方面认识的发展与深化提供了哪些新的启示.在笔者看来，这事实上也可被看成“多元表征理论”给予我们的一个重要启示，尽管后者主要地只是就概念的心理表征进行分析的.这也就是指，人们关于数学概念的心理表征往往包含多个不同的方面或成分，即如书面定义、实物操作、图像、符号语言、现实情景等，它们对于概念的理解都有重要的作用，而且，与片面强调其中的某一（些）成分相比，我们又应更加重视这些成分之间的灵活转换与适当整合.

最后，就总体而言，我们则又应当特别重视学生数学思维的发展性质与层次性质.

其次，这应当被看成这方面工作又一重要的指导原则，即是我们不应将数学学习的研究与数学教学研究绝对地割裂开来，特别是，即应特别重视各种学习理论教学涵义的分析.具体地说，无论是上面所提及的关于数学学习的认知研究或文化分析，显然都为我们具体认识数学教学的性质提供了直接的启示：教师的指导即应被看成为学生认识不断优化的一个重要条件，另外，从文化的视角看，教师所发挥的作用就可以说是“文化传承者”这样一个作用.

也正是在这样的意义上，笔者以为，“双主体思想”就应被看成最重要的一个教学思想，也即我们应当同时肯定学生在学习过程中的主体地位与教师在教学过程中的主导作用.

当然，相关分析也不应脱离我们关于数学教育目标的认识.具体地说，如果我们认定数学教育的主要目标应是促进学生思维的发展，那么，我们在此显然也就应当明确地引出这样一个结论，即是相对于一般所谓的“学”与“教”，我们应当更加突出“思”与“引”这样两个关键词，也即应当将此分别看成学生和教师在数学学习和教学的过程中所应从事的主要活动.

上述认识显然也具有重要的现实意义.例如，依据这一立场我们即可更清楚地认识片面强调“以学为主”的局限性，还包括这样一点，即是我们并不应将“学习的组织者、引导者与合作者”看成关于数学教师工作并列的三个定位.

再者，依据上述分析我们也可直接引出关于如何判断一个数学教学活动成功与否的以下标准：无论教学中采取了什么样的教学方法或模式，我们都应更加关注相应教学是否促进了学生积极进行思考，并能逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理.

最后，从教学的角度看，这显然也就表明我们应将“引”看成做好数学教学最重要的一个关键词.进而，又由于我们应当积极提倡“数学深度教学”，因此就应当将“深”看成数学教学的第二个关键词.再者，依据“双主体”的教学思想，笔者以为，我们又应将“放”看成数学教学的第三个关键词，这也就是指，教学中我们应当很好落实学生的主体地位，也即让他们切实地承担起学习的责任，包括很好发挥合作学习的作用，而不是始终处于被动的地位.

当然，为了做好上述工作，我们还应从方法论的角度做出进一步的分析研究.这也正是下一节的直接论题.

（未完待续，余下内容见第3期）