例谈如何判断二面角的平面角是锐角还是钝角

【摘 要】

通过建立空间直角坐标系来求二面角的平面角的大小，难点是如何判断其是锐角还是钝角，文章通过题目的解法介绍了三种方法简便快捷地解决这一难点，并且这三种方法都是通性通法.【关键词】 二面角；平面角；求法；建系；判断；锐角；钝角

通过建立空间直角坐标系来求二面角的平面角的大小，难点是如何判断其是锐角还是钝角，本文将通过题目介绍三种方法简便快捷地解决这一难点.

广泛使用的著作[1]第211-212页的例8（即下面的题1）及其解答是：

图1题1 如图1，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=1，PA=AD=CD=2.E为棱PC上一点，平面ABE与棱PD交于点F.从①②两个条件中选择一个作为已知，完成下列两个问题：

（1）求证：F为棱PD的中点；

（2）求二面角B-FC-P的余弦值.

条件①：BE∥AF；

条件②：BE⊥PC.

解 选条件①：BE∥AF.

（1）因为AB∥CD，AB平面PCD，CD平面PCD，所以AB∥平面PCD.因为平面ABEF∩平面PCD=EF，所以AB∥EF.

又因为BE∥AF，所以四边形ABEF为平行四边形，得AB瘙綊EF.

又因为AB瘙綊12CD，所以EF瘙綊12CD，可得EF是△PCD的一条中位线，得F为棱PD的中点.图2

（2）由题设可得三条直线AB，AD，AP两两互相垂直，因而可建立如图2所示空间直角坐标系A-xyz，得五点B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），F（0，1，1），所以BC=（1，2，0），BF=（-1，1，1）.

设平面BFC的一个法向量m=（x，y，z），则

m·BC=x+2y=0，

m·BF=-x+y+z=0，

选y=-1，得x=2，z=3，所以m=（2，-1，3）.

可得AB⊥平面PAD，CD∥AB，所以CD⊥平面PAD，因而AF⊥CD.在等腰△APD中，由“三线合一”可得AF⊥PD，进而可得AF⊥平面PCD，即AF⊥平面FCP，所以AF=（0，1，1）是平面FCP的一个法向量.

cos〈m，AF〉=m·AFm·AF=214·2=77.①

由题知二面角B-FC-P的平面角为锐角，所以二面角B-FC-P的余弦值是77.

选条件②：BE⊥PC.

由题设可得PA⊥AB，在Rt△PAB中，可求得PB=5.在梯形ABCD中，也可求得BC=5，所以PB=BC.再由BE⊥PC，可得E为棱PC的中点.

因为AB∥CD，AB平面PCD，CD平面PCD，所以AB∥平面PCD.

因为平面ABEF∩平面PCD=EF，所以AB∥EF.再由AB∥CD，可得EF∥CD，所以F为棱PD的中点.

（2）由（1）的解答可得EF是△PCD的一条中位线，所以EF瘙綊12CD瘙綊AB，四边形ABEF为平行四边形，得BE∥AF，即条件①成立.接下来，同选条件①的解答.

质疑 （题1是一道很好的结构不良问题）在以上解答中，“由题（图）知二面角B-FC-P的平面角为锐角”是流行的解答过程，但笔者认为这是不严密的，应当阐述其成立的理由.实际上，若没有严密的推理，很容易误认为图2中的二面角B-FC-P的平面角是钝角.

方法1 由两个半平面的法向量的方向及“同补异等”来判断.

图3如图3所示，过二面角α-l-β（其大小在（0，π）上）内的点C分别作CA⊥α于A，CB⊥α于B.

设两条相交直线CA，CB确定平面γ，可得CA⊥l，CB⊥l，所以l⊥γ.设垂足是O，连接OA，OB，由l⊥γ可得l⊥OA，l⊥OB，所以∠AOB是α-l-β的一个平面角.

在平面四边形AOBC中，可得∠AOB与∠ACB互补.

在图4—7中，m，n分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量.

在图4中，两个法向量m，n的方向均指向二面角外；在图5中，两个法向量m，n的方向均指向二面角内.对于这两种情形，均有两个法向量m，n的夹角〈m，n〉

与二面角α-l-β的大小互补.

在图6与图7中，两个法向量m，n的方向一个指向二面角外而另一个指向二面角内.对于这两种情形，均有〈m，n〉与二面角α-l-β的大小相等.

因而由两个半平面的法向量的方向可判断二面角的平面角是锐角还是钝角（须先由向量的数量积判断这两个法向量的夹角是锐角还是钝角），可把这种判断方法简单记忆为“同补异等”.

图8在题1的解答中，已求得二面角B-FC-P的两个半平面BFC，FCP的法向量分别是m=（2，-1，3）与AF.如图8所示，可得法向量m=AT=（2，-1，3）的方向指向该二面角内，而法向量AF的方向指向该二面角外，由“同补异等”可得〈m，AF〉与二面角α-l-β的大小相等.

再由①可得二面角B-FC-P的余弦值是77（进而可得二面角B-FC-P的平面角是锐角）.

注 在立体图形中，有时判断二面角的一个半平面的法向量是指向二面角外还是指向二面角内并不容易，但有下面的“正内负外”准确判断方法：

在二面角α-l-β（其大小在（0，π）上）中，m是半平面α的一个法向量.引入辅助向量OB，其中点O∈l，B∈半平面β，Bl.如图9所示，若m·OB＞0，则m指向该二面角内；如图10所示，若m·OB＜0，则m指向该二面角外.

理由如下：

对于图9的情形，由m·OB=m·OBcos〈m，OB〉＞0，可得0≤〈m，OB〉＜π2.而半平面α的法向量只有相反的两个方向，进而可得m指向该二面角内.同理可证得图10的情形也成立.

对于题1，由二面角B-FC-P的两个半平面BFC，FCP的法向量分别是m=（2，-1，3），AF及m·FP=（2，-1，3）·（0，-1，1）=4＞

0，AF·FB=（0，1，1）·（1，-1，-1）=-2＜0，由“正内负外”，可得m，AF分别指向二面角B-FC-P内、外.再由“同补异等”可得〈m，AF〉与二面角B-FC-P的大小相等.

图11方法2 用二面角平面角的定义计算该二面角的大小.

把图2中的二面角B-FC-P单独拿出来（如图11所示），作PH⊥FC于H，设点H（x，y，z）及FH=λFC可得，（x，y-1，z-1）=λ（2，1，-1）=（2λ，λ，-λ），所以

（x，y，z）=（2λ，λ+1，1-λ），

再得点H（2λ，λ+1，1-λ），向量HP=（-2λ，-λ-1，λ+1），FC=（2，1，-1）.

由PH⊥FC，可得HP·FC=（-2λ，-λ-1，λ+1）·（2，1，-1）=-6λ-2=0，λ=-13，所以HP=23，-23，23，32HP=（1，-1，1）.

如图11所示，再作BH′⊥FC于H′，设点H′（x′，y′，z′）及FH′=λ′FC可得，（x′，y′-1，z′-1）=λ′（2，1，-1）=（2λ′，λ′，-λ′），

（x′，y′，z′）=（2λ′，λ′+1，1-λ′），

再得点H′（2λ′，λ′+1，1-λ′），向量H′B=（1-2λ′，-λ′-1，λ′-1）.

由BH′⊥FC，可得H′B·FC=（1-2λ′，-λ′-1，λ′-1）·（2，1，-1）=2-6λ′=0，λ′=13，所以H′B=13，-43，-23，3H′B=（1，-4，-2）.

由二面角平面角的定义，可得二面角B-FC-P的余弦值是

cos〈HP，H′B〉=cos〈32HP，3H′B〉=33·21=77.

进而可得二面角B-FC-P的平面角是锐角.

方法3 用一个半平面上的某点（该点不在棱上）在另一个半平面所在平面上的射影的位置来判断.

如图12所示，在二面角α-l-β中，若半平面二面角α上存在点A（Al）在半平面β所在平面上的射影H在半平面β上且Hl，则二面角α-l-β的平面角是锐角.

如图13所示，在二面角α-l-β中，若半平面α上存在点A（Al）在半平面β所在平面上的射影H在半平面β的反向延展面上，则二面角α-l-β的平面角是钝角.

在题1的解答中，已证得BE∥AF，AF⊥平面PFC，所以BE⊥平面PFC，进而可得二面角B-FC-P的半平面BFC上的点B在平面FCP上的射影E在半平面FCP上且不在棱FC上，所以二面角B-FC-P的平面角是锐角.

再由①可得二面角B-FC-P的余弦值是77.

题2 （著作[1]第207-208页例5）如图14，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=1，BC=2，求二面角A-PB-C的的余弦值.

图14

解 如图15所示，可把图14中的三棱锥P-ABC放入正方体中，并建立空间直角坐标系A-xyz，可得三点P（0，0，1），B（2，1，0），C（0，1，0），进而可求得两个平面APB，PBC的一个法向量分别是m=（-1，2，0），n=（0，1，1），再求得cos〈m，n〉=33.

接下来，由前面介绍的方法1或方法3可完成后续解答.

图15由图15可得，二面角A-PB-C的两个半平面APB，PBC的法向量m，n分别指向该二面角内、外，所以由“同补异等”可得〈m，n〉与该二面角的大小相等，因而所求二面角A-PB-C的的余弦值是33.

图16如图16所示，过点C作CH⊥AB于H，由AC⊥BC可得点H在线段AB上且不是其端点，可得半平面PBC上的点C在平面APB上的射影在半平面PBA内且不在棱PB上，所以二面角A-PB-C的平面角是锐角，进而可得所求二面角A-PB-C的的余弦值是33.

注 可得题2中的三棱锥P-ABC的各个面均是直角三角形，这样的三棱锥（四面体）叫做鳖臑^［2］.

图17题3 （2017年高考全国卷Ⅰ理科第18题）如图17，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值.

解 （1）略.

图18（2）如图18所示，设两条棱AD，BC的中点分别是O，E，连接OP，OE.

由AB瘙綊CD，可得四边形ABCD为平行四边形，所以OE瘙綊AB.

由（1）的结论可得AB⊥平面PAD，所以OE⊥平面PAD.

又因为PO，AD平面PAD，所以OE⊥PO，OE⊥AD.

再由PA=PD，可得PO⊥AD，所以三条直线OP，OE，AD两两互相垂直，因而可建立如图18所示的空间直角坐标系O-xyz.

可不妨设PA=2，得四点D（-1，0，0），B（1，2，0），P（0，0，1），C（-1，2，0），进而可求得两个平面APB，PBC的一个法向量分别是DP=（1，0，1），n=（0，1，2），还可求得cos〈DP，n〉=33.

接下来，由前面介绍的方法1可完成后续解答：

由图18可得二面角A-PB-C的两个半平面APB，PBC的法向量DP，n均指向该二面角外，所以由“同补异等”可得〈DP，n〉与该二面角的大小互补，因而所求二面角A-PB-C的的余弦值是-33.

（2）的另解 可不妨设PA=1，进而可把题3中的四棱锥P-ABCD放置在如图19所示的单位正方体中，可建立空间直角坐标系D-xyz，得四点A（1，0，1），P（1，0，0），B（1，1，1），C（0，1，0），再求得两个半平面APB，PBC的一个法向量分别是m=（1，0，0），n=（1，1，-1），还可求得cos〈m，n〉=33.

接下来，由前面介绍的方法1或方法3可完成后续解答.

由图19可得二面角A-PB-C的两个半平面APB，PBC的法向量m，n均指向该二面角外，所以由“同补异等”可得〈m，n〉与该二面角的大小互补，因而所求二面角A-PB-C的的余弦值是-33.

如图19所示，可得半平面PBC上的点C在平面APB上的射影H在半平面PBA的反向延展面上，所以二面角A-PB-C的平面角是钝角，进而可得所求二面角A-PB-C的的余弦值是-33.

题4 （2015年高考北京卷理科第17题）如图20，在四棱锥A-EFCB中，△AEF为等边三角形，平面△AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为棱EF的中点．

（1）求证：AO⊥BE；

（2）求二面角F-AE-B的余弦值；

（3）若BE⊥平面AOC，求a的值．

解 （1）（3）略.

（2）如图21所示，取棱BC的中点G，连接OG.

由题设知，四边形EFCB是等腰梯形，所以OG⊥EF.

由（1）的结论可得AO⊥平面EFCB.又因为OG平面EFCB，所以OA⊥OG，因而可如图21所示建立空间直角坐标系O-xyz，得三点E（a，0，0），A（0，0，3a），B（2，3（2-a），0），进而可求得平面AEB的一个法向量n=（3，-1，1）.

易知平面AEF的一个法向量m=（0，1，0），可求得cos〈m，n〉=-55.

接下来，由前面介绍的方法1或方法3可完成后续解答.

由图21可得二面角F-AE-B的两个半平面AEF，AEB的法向量m，n分别指向该二面角内、外，所以由“同补异等”可得〈m，n〉与该二面角的大小相等，因而所求二面角的余弦值是-55.

如图21所示，可得半平面AEB上的点B在平面AEF上的射影在线段FE的延长线上，因而在半平面AEF的反向延展面上，所以二面角F-AE-B的平面角是钝角，进而可得该二面角的余弦值是-55.

结束语 本文用三种方法解决了文章开头提出的难点问题，且它们都是通性通法.其中方法1要仔细看图并认真判断半平面的法向量的方向是指向二面角内还是外（通过观察不易判断时，由“正内负外”可准确判断）；方法2不存在观察及判断，但运算量略大；方法3只是在理论上可行，但很多时候点在半平面上的射影位置难以确定，导致不易判断二面角的平面角是锐角还是钝角.但由这三种方法可以快速确定二面角的平面角是锐角还是钝角这一难点，从而准确求出二面角的大小.另外，当空间图形中含有平行、垂直等特殊位置关系时，把该图形放置在长方体（包括正方体）中，是解决立体几何问题的一种好方法^［3-4］.

参考文献

[1]北京市西城区教育研修学院.高三数学总复习指导[M].15版.北京：地质出版社，2024.

[2]甘志国.鳖臑的形状[J].数理化解题研究，2020（4）：2-3.

[3]甘志国.把几何体放置在长方体中来求解三视图问题是一种好方法[J].数学教学，2015（12）：23-26.

[4]甘志国.补形法，正四面体的最佳解法[J].数学金刊：高考，2011（3）：39.