回归几何本源 探究曲线性质

【摘 要】 以2024年全国高考数学Ⅰ卷第11题为例，从命题意图、试题评析、解法探究、追根溯源、变式练习、复习启示等六个方面进行分析，探讨新定义曲线问题的解决思路，并对高考复习提出几点建议.

【关键词】 新定义曲线；几何本源；曲线性质

2024年全国高考数学Ⅰ卷采用全新的试卷结构，减少试题量，给学生充足的时间思考问题，加强数学思维考查^[1]，立足《中国高考评价体系》中的“基础性、综合性、应用性和创新性”的命题要求，关注“新课标、新教材、新高考”要求，充分体现了“立德树人、服务选才、导向教学”的高考核心价值^[2].

解析几何一直是高考的重要考点，以思维难度大、运算复杂著称，学生得分率往往不高，而2024年高考数学新课标Ⅰ卷解析几何多选题因其风格清新，让人眼前一亮，成为试卷的一个亮点.该试题依托新定义曲线，探究新曲线的轨迹方程和性质，体现了回归解析几何本源，探究解析几何中曲线的一般方法和流程，从而探究曲线的性质，是教材研究圆锥曲线的延伸和拓展，真正体现了教考衔接.以2024年高考数学新课标Ⅰ卷第11题为例，通过对该试题的命题意图、试题评析、解法探究、追根溯源、变式练习、复习启示等方面进行分析.

试题呈现

（2024年全国新课标Ⅰ卷第11题）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图1中图1的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于-2， 到点F（2，0）的距离与到定直线x=a（a＜0）的距离之积为4，则（" ）.

A.a=-2

B.点（22，0）在C上

C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1

D.当点（x0，y0）在C上时，y0≤4x0+2

1 命题意图

本题是2024年全国新课标Ⅰ卷第11题，以“到点F（2，0）的距离与到定直线x=a（a＜0）的距离之积为4”为背景探究动点的轨迹，以及轨迹上点的性质.这个问题是对教材中圆锥曲线定义的拓展推广，考查学生用代数方法研究几何问题的能力，凸显了试题对学生数学能力的要求，强调对数学概念的理解，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等学科素养.

2 试题评析

本试题属于新定义曲线问题，此类问题不仅能有效考查考生对基础知识的掌握程度，而且对考生的创新能力和应用能力提出了更高要求.这道题以全新的曲线创设问题情境，涉及的曲线的定义与圆锥曲线的定义仅一字之差，因此，可以引导学生类比圆锥曲线，采用解析法对该曲线展开研究.通过对比同类试题，笔者发现平面内到一个定点的距离与到一条定直线的距离之和、之差为定值的曲线都有研究文章，这道试题改为研究平面内到定点的距离与到定直线的距离之积为定值，颇为新颖，可见命题者刻意避开大家研究过的曲线.当然，命题者没有为难考生，考查的知识点都是研究曲线的基本方法，比如求曲线的轨迹方程，点与圆锥曲线的位置关系等.同时，命题者对这道题的难度没有拔得太高，通过给出曲线的图象，暗示考生可以利用图象判断，没有要求考生求图象的最高点，只需要做一个判断，这样就给了考生用估算、代入法提供了用武之地，刻意减少运算量，降低试题难度.

3 解法探究

解法1（数形结合，估算法） 对于A，设曲线上的动点P（x，y），则x＞-2且（x-2）2+y2×x-a=4，

因为曲线过坐标原点，故（0-2）2+02×0-a=4，解得a=-2，故A正确.

图2对于B，由曲线方程为（x-2）2+y2×x+2=4，而x＞-2，

故（x-2）2+y2×（x+2）=4.

当x=22，y=0时，（22-2）2×（22+2）=8-4=4，

（22，0）在曲线上，故B正确.

对于C，根据曲线的图象，如图2，过点F（2，0）

作垂直于x轴的直线与曲线交于点P（2，1），从图象看，显然曲线最高点出现在虚线与曲线的交点处，此时交点纵坐标大于1，故C错误.

对于D，如图3所示，过曲线上任意一点P（x0，y0）作PA⊥OF，

则PA=y0，PF=4x0+2，所以y0≤y0=PA≤PF=4x0+2，D正确.

故选ABD.

解法2（特殊值法，不等式性质） 选项A，B解析同解法1.

对于C，由曲线的方程可得y2=16（x+2）2-（x-2）2，取x=32，

则y2=6449-14，而6449-14-1=6449-54=256-24549×4＞0，此时y2＞1，

故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，C错误.

对于D，当点（x0，y0）在曲线上时，由选项C的分析可得y20=16（x0+2）2-（x0-2）2≤16（x0+2）2，

因为x0＞-2，所以y0≤y0≤16（x0+2）2=4x0+2，

D正确.

故选ABD.

下面，对C选项提供另外两种解法.

解法3（导数几何意义） 设P（x，y）（x＞0，y＞0）是曲线C在第一象限的点.

由解法1知曲线方程为（x-2）2+y2×（x+2）=4，所以y2=16（x+2）2-（x-2）2.

令f（x）=16（x+2）2-（x-2）2，则f′（x）=-32（x+2）3-2（x-2），

因为f（2）=1，f′（2）=-12＜0，

所以根据导数的几何意义知，函数f（x）在x=2附近单调递减，即必存在x0∈（0，2），使得f（x）在（x0，2）上单调递减，

所以 f（x0）＞f（2）=1，即C在第一象限的点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.

解法4（零点存在性定理） 同解法3，令f（x）=16（x+2）2-（x-2）2，

则f′（x）=-32（x+2）3-2（x-2）=-2x（x3+4x2-16）（x+2）3.

令g（x）=x3+4x2-16（0＜x＜22），则g′（x）=3x2+8x＞0，

所以g（x）在（0，22）上单调递增.

因为g（1）=-11＜0，g（2）=8＞0，

所以由零点存在性定理知，在（1，2）上存在x0，使得g（x0）=0，f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，22）上单调递减，

所以f（x）max=f（x0）＞f（2）=1，即C在第一象限的点的纵坐标的最大值大于1.

本试题知识图谱可用下图4表示：

4 追根溯源

本题曲线的定义是“到点F（2，0）的距离与到定直线x=a（a＜0）的距离之积为4”，即平面内一个动点到一个定点的距离与到定直线的距离之积是一个定值，与圆锥曲线的统一定义“平面内一个动点到定点的距离与到定直线的距离之比是一个定值”仅一字之差，因此很多性质的研究可类比圆锥曲线的方法，其实它属于一类称为有理曲线的特殊情形.在代数曲线中，其上的点的坐标可用一个参数的有理函数表示的曲线叫有理曲线，而本试题即为取定参数的有理曲线.在数学史上有很多著名的曲线，如图5，蔓叶线、马克劳林三等分角线、笛卡尔叶形线、环索线等.

笛卡儿叶形线是一个代数曲线，根据他所研究的一簇花瓣和叶形曲线特征，首先由笛卡儿在1638年提出，对应的曲线方程为x3+y3-3axy=0.数学家还为它取了一个好听的名字——茉莉花瓣曲线.2024年这道高考试题对应曲线实质是旋转45°后的笛卡儿叶形线.因此，在平时的教学中让学生适当了解一些著名曲线还是有必要的.

图5 四种有理曲线

5 试题变式

变式1（多选题） 曲线C是平面内与定点F（2，0）的距离与到定直线x=-2的距离之积为4的点的轨迹，则（" ）.

A.曲线C过坐标原点

B.曲线C关于x轴对称

C.曲线C与x轴有3个交点

D.若点M在曲线C上，则MF的最小值为2（2-1）

变式2（多选题） 2022年卡塔尔世界杯会徽（如图6）的正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（-a，0），F2（a，0）距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为双纽线C，已知点P（x0，y0）是双纽线C上一点，下列说法正确的有（" ）.

A.双纽线C关于坐标原点O中心对称

B. -a2≤y0≤a2

C. 双纽线C上满足PF1=PF2的点P有两个

D. PO的最大值为2a

6 复习启示

6.1 立足数学基础，深入理解教材

“基础不牢，地动山摇”，每年高考试题不管难度如何，都离不开基础知识的铺垫，只有立足数学基础，数学“根基”硬了，才能做好综合题.《中国高考报告》指出，高考命题会以教材中的知识为蓝本，既可以实现对基础知识的考查，又可以引导回归教材，减轻学习负担，提高学生学习的针对性和有效性^[3].教材是按照课程标准的要求编写的教学用书，汇聚了多位专家与学者的深厚专业知识与智慧结晶，它是学科知识的精华，也是高考命题者的“根源”.因此，在高三复习阶段要重视基础，深入理解教材.本题A，B两个选项涉及的方法可以说是解析几何最基本的方法，这与人教A版普通高中教科书《数学》（选择性必修第二册）第二章提出的研究解析几何的方法是一致的.因此，深入理解教材，掌握好教材上的基本方法才能做好高考题.在2024年的高考数学试卷中，基础题占了总分的70%，这一比例体现了基础知识在高考数学中的重要性，在19道试题中，有将近15道试题来源于教材或改编自教材.因此，我们在复习中更应该重视教材，利用好教材中的例题，吃透教材中的方法，抓好数学基础，最大限度地发挥教材的示范作用.

6.2 回归几何本源，探究曲线性质

解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的，它的基本内涵和方法是：通过坐标系，把几何基本元素—点和代数的基本对象—数（有序数对或数组）对应起来，在此基础上建立曲线（点的轨迹）的方程，从而把几何问题转化为代数问题，再通过代数方法研究几何图形的性质^[4].但是，我们对于解析几何的教学往往重视模式化的代数运算，而忽视了隐藏于问题中的几何背景，使解题陷入“过程冗长，运算繁琐”的境地，导致学生“望而生畏，知难而退”，我们在平时的教学中应该回归几何本源，揭示问题的几何本质来优化运算，例如解法1中PA≤PF可以直观体现线段的长度关系，这也体现了命题者“多想少算”的命题意图.解析几何的核心在于将代数运算融入几何背景之中.首先，需以几何视角细致剖析图形要素及其内在联系；然后，运用代数语言精准表述这些关系.在运算流程中，巧妙借助图形的几何特性及其相互间的关联进行简化处理，此举实为攻克运算难题的有效策略.同时，我们在平时加强解析几何问题的训练，掌握教材上研究曲线的基本方法，通过代数方法研究曲线的性质，比如本试题需要用到不等式性质、导数的方法研究曲线的性质.

6.3 掌握通性通法，提升学科素养

“工欲善其事，必先利其器”，强化学生的解题基础技能与通用方法，确保他们熟练掌握并能灵活运用，以此促进学科综合素养的全面提升.《普通高中数学课程标准（2017版2020年修订）》强调，在设计学习评价工具时，应聚焦数学的核心概念和通性通法，聚焦它们所承载的数学学科核心素养^[5].在高三的复习中，切实让学生参与学习过程，感悟知识生成细节，体会知识本质内容，熟练掌握解题的通性通法，比如本试题用到的通性通法有导数的单调性判断方法、零点存在性定理、导数的几何意义等方法.精通运用几何直观与数形转换的思维模式，以深化学生逻辑推理、直观想象、数学抽象及数学运算等关键学科素养的培养.

参考文献

[1]胡凤娟.引导学生经历思考的全过程：基于对2024年高考数学新课标Ⅰ卷试题的分析[J].基础教育课程，2024（8）：30-36.

[2]教育部考试中心.中国高考评价体系：2019版[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3] 徐尚昆，杨汝岱，郝保伟.中国高考报告（2024）：2024版[M].北京：新华出版社，2024.

[4] 章建锋.人教A版新教材中章首语的内容分析与教学思考[J].中学数学教学参考，2022（8）：10-14.

[5]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版2020年修订[M].北京：人民教育出版社，2020.

作者简介 范祖库（1979—），男，浙江庆元人，高级教师，丽水市教学名师;主要从事高中数学教育教学研究.