高中数学大单元视域下的习题课讲评

摘"要"习题讲评课是高中数学大单元教学的一种重要课型，是学生掌握基础知识的重要途径，也是学生能否运用理论解决实际问题的“试金石”，对学生核心素养的培养具有无可替代的作用.本文通过对一道课本练习题的讲解，探寻高中数学大单元视域下的习题课讲评的方法与策略.

关键词"习题课；大单元教学；核心素养

1.引言

高中数学学科核心素养要求学生对高中的知识内容进行深度学习，无不透露出大单元教学的现实必要性.要有效落实高中数学学科核心素养，基于深度学习的高中数学大单元教学是必经之路.高中数学学科核心素养赋予了高中数学大单元教学新的内涵与意义，给学生的深度学习指明了方向.基于深度学习的高中数学大单元教学通过对学习内容进行整合，对学科本质进行把握，对高阶思维进行发展，在教学设计过程中依托大概念、制定大目标、设置大任务、实现大发展，从而可以有效落实高中数学学科核心素养.让“立德树人”根本任务得以承载，让素质教育功能得以发展.

在新课标、新教材和新高考的“三新”改革背景下，如何推进课堂教学改革，稳步提升教学质量，是高中数学课堂教学必须面对的新方向，广大一线教师应该积极探索.习题讲评课是高中数学大单元教学的一种重要的课型，是学生对基础知识进行掌握的重要途径，也是学生能否运用理论来解决实际问题的“试金石”，对学生核心素养的培养具有无可替代的作用.本文以一道课本习题讲解为例，探寻在大单元视域下习题课的讲评.

2.习题

（人教A版《数学选择性必修第一册》第116页）已知椭圆x24+y29=1，一组平行直线的斜率是32.

（1）这组直线何时与椭圆相交；

（2）当他们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一直线上.

2.1"在解题方法的探究上进行大单元教学

（1）易得这组直线的纵截距在（－32，32）时与椭圆相交。

（2）解法1"（设线法）设直线方程为y=32x+m，代入椭圆x24+y29=1中得18x2+12mx+4m2－36=0.设直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y）为线段AB的中点，则x1+x2=－23m=2x①，所以y1+y2=32（x1+x2）+2m=m=2y②.联立①，②消去m得3x+2y=0，所以这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一直线3x+2y=0上.

解法2"（设点法）设直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y）为线段AB的中点，则kOM·kAB=2y2x×y2－y1x2－x1=y22－y12x22－x12=9（1－x224）－9（1－x124）x22－x12=－94.因为kAB=32，所以kOM=－32，所以OM：3x+2y=0，所以这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一直线3x+2y=0上.

解法3"（点差法）设直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y）为线段AB的中点，则x1+x2=2x，y1+y2=2y，又x124+y129=1，x224+y229=1，两式作差得14（x1+x2）（x1－x2）+19（y1+y2）（y1－y2）=0，即y1－y2x1－x2=－94×x1+x2y1+y2，故32=－94×2x2y，即3x+2y=0，所以这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一直线3x+2y=0上.

解法4"（曲线参数方程法）设直线与椭圆交于A（2cosθ，3sinθ），B（2cosφ，3sinφ），线段AB的中点为M（cosθ+cosφ，32（sinθ+sinφ）），所以kOM·kAB=32×sinθ+sinφcosθ+cosφ×32×sinθ－sinφcosθ－cosφ=－94，因为kAB=32，所以kOM=－32，所以OM：3x+2y=0，所以这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一直线3x+2y=0上.

解法5"（直线参数方程法）设线段AB的中点为M（x0，y0），则A（x0+tcosα，y0+tsinα），B（x0－tcosα，y0－tsinα），因为kAB=32，所以sinαcosα=32，将A，B坐标代入椭圆x24+y29=1中得（x0+tcosα）24+（y0+tsinα）29=1，（x0－tcosα）24+（y0－tsinα）29=1，两式作差得x0cosα+49y0sinα=0，所以3x0+2y0=0，所以这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一直线3x+2y=0上.

评析"多视角探寻问题的解决办法有助于拓展学生的思维，也有助于学生对问题的整体把握.通过从不同视角来分析和解决问题，让学生不仅看到各知识之间的联系，而且运用各知识的联系来促进学习，使得各知识形成一个有机整体，形成大单元，从而实现深度学习，让核心素养得到落实.

2.2"在结论的总结归纳上进行大单元教学

通过对问题结论的进一步分析发现，在圆锥曲线当中，与中点息息相关的有以下结论.

结论1（见下表）

结论2"（椭圆轴点弦定理）已知A1，A2分别是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右顶点，AB是经过定点M（m，0）（m≠±a）的轴点弦，且AB不是长轴，则kA1A·kA1B=b2（m－a）a2（m+a），且kA2A·kA2B=b2（m+a）a2（m－a）.

结论3"（双曲线轴点弦定理）已知A1，A2分别是双曲线x2a2－y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，AB是经过定点M（m，0）（m≠±a）的轴点弦，且AB不是长轴，则kA1A·kA1B=－b2（m－a）a2（m+a），且kA2A·kA2B=－b2（m+a）a2（m－a）.

评析"[HTK]总结结论目的在于，让问题的解决不仅仅停留在解决层面，而是从问题的本质入手，深入挖掘问题的内涵与外延，使问题具有生命力.让学生解一道题，收获一类题，达到举一反三的效果，最终实现大单元教学，落实核心素养.

2.3"在方法应用上进行大单元教学

2.3.1"定比点差法

题1"（2022全国乙卷（理科）第20题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过A（0，－2），B（32，－1）两点."（1）求E的方程;（2）设过点P（1，－2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x的直线与线段AB交于点T，点H满足MT=TH，证明：直线HN过定点．

解：易得（1）椭圆E的方程为x23+y24=1.

（2）设M（x1，y1），由MP=λPN，可得x1+λx2=1+λ，y1+λy2=－2（1+λ）.

又因为x123+y124=1，（λx2）23+（λy2）24=λ2，所以（x1－λx2）（x1+λx2）3（1－λ）（1+λ）+（y1－λy2）（y1+λy2）4（1－λ）（1+λ）=1，即λ=2x1－3y1－7，从而N（x1－3y1－62x1－3y1－7，－4x1+5y1+122x1－3y1－7），由题意可得T（32（y1+2），y1），又MT=TH，则H（32（y1+2）－x1，y1），由此可得直线HN过定点（0，－2）.

本题也可以用斜率点差法，限于篇幅，留给读者完成.

2.3.2"截距点差法

题2"（2023新高考Ⅱ卷第21题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（－25，0），离心率为5.（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（－4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上．

解"（1）略；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），A1（－2，0），A2（2，0）.由x24－y216=1得x2=4+y24，由M，N，（－4，0）三点共线得y1x1+4=y2x2+4，即x2y1－x1y2=－4（y1－y2）①，x2y1+x1y2=－（y1+y2）②.则①+②得2x2y1=－5y1+3y2，①-②得2x1y2=－5y2+3y1.直线MA1：y=y1x1+2（x+2），直线NA2：y=y2x2－2（x－2），联立方程消去y得x+2x－2=x1y2+2y2x2y1－2y1=－13，解得x=－1.即点P在定直线x=－1上.

本题也可以用定比点差法，限于篇幅，留给读者完成.

2.3.3"斜率点差法

题3"（2023全国乙卷（理科）第20题）已知椭圆E：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的离心率为53，且经过点A（－2，0）.（1）求椭圆E的方程；（2）过P（－2，3）的直线l交椭圆E于B，C两点，直线AB，AC与y轴的交点记为M，N.求证：线段MN的中点为定点.

解"（1）易得椭圆E的方程为y29+x24=1.

（2）设B（x1，y1），C（x2，y2）.由A，B，M共线可得M（0，2y1x1+2），由A，C，N共线可得N（0，2y2x2+2），则线段MN的中点为M（0，2y1x1+2+2y2x2+2）.将E：y29+x24=1化为y2=－94（x2－4）=－94（x+2）（x－2）.

因为y1－3x1+2=y2－3x2+2，所以y1x1+2－y2x2+2=3x1+2－3x2+2①.

所以（y1x1+2）2－（y2x2+2）2=－94（x1－2x1+2－x2－2x2+2）=94（4x1+2－4x2+2）.

所以（y1x1+2+y2x2+2）（y1x1+2－y2x2+2）=3（3x1+2－3x2+2），所以y1x1+2+y2x2+2=3，所以线段MN的中点为定点（0，3）.

评析

解题方法的迁移应用，是解题教学的精髓，通过对一个问题的分析与处理，使其能应用于其他问题.这不仅是解题者个人素养的体现，更是问题的价值体现，也是解题教学的不懈追求.高中数学大单元视域下的解题教学，就是在解题教学中不断追求学生知识的结构化，方法的体系化，能力的素养化，让学生在这种大视角下，不断提升自己的素质与核心素养.

3.反思

以学科核心素养为导向的教育教学，给一线教师的教学提供了提升的机会，同时也提出了挑战.核心素养导向，使得学生对知识的学习不再是碎片化的知识点的学习，而应该是结构化的，整体性的，宏观视角的整合性学习.这就要求教师的教学一方面可以让学生对知识进行整体感知、整体突破，最终实现对知识的深度学习和深度理解;另一方面有助于教师提升自己的教学水平，完善自身的知识结构，实现对知识的全局把握.因此，大单元教学给学科核心素养的培养提供了新的视角，新的思路，成为了学科核心素养落地的有力抓手.

基金项目：江西省教育科学“十四五”规划 2023 年度中小学系列一般课题《基于深度学习的高中数学大单元教学实践与研究》（编号：23JYB141）