例析隔板法在处理排列组合问题时的应用

计数中的分配或分组问题，一直是排列组合中的一个重点与难点，也是组合应用中的典型问题之一。其中，利用隔板法来处理对应的分配或分组问题，成为高中排列组合的重要方法之一，它主要用于解决相同元素（或具有相同特征或相同地位等）的分配问题。根据问题的创设场景与应用类型，隔板法可分为三种比较常见的题型：①标准型;②多分型;③少分型。其中后两种题型根据具体的问题场景，加以合理转化与应用，最终都是化为“标准型”来解题。

一、“标准型”隔板法

“标准型”隔板法的模型是：将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数），每份至少1个元素，可以用m-1块隔板，插入到n个元素排成一排的n-1个空隙中，共有Cm-1n-1种分法。

例1某校将6个三好学生名额分配到高三年级的3个班，每班至少1个名额，则不同的分配方案有（）。

A.15种B.20种

C.10种D.30种

解析：该问题是相同元素（三好学生）的分组分配问题，适合采用“标准型”隔板法来处理。由于6个名额之间有5个空，隔2块板就可以分成3份，每份至少一个名额，所以共有C25=10（种）分配方案。

故选C。

点评：借助“标准型”隔板法解决实际应用问题时，需要同时满足以下三个要求：①被分配的n个元素无差别;②n个元素分给m个不同的对象（ngt;m）;③每个对象至少分1个元素。

例2某校有10个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则不同的分配方案有（）。

A.135种B.36种

C.75种D.120种

解析：因为题目中的“学生名额”是相同元素，所以该问题是相同元素的分组分配问题，适合“标准型”隔板法来解决。由于10个名额之间有9个空，隔2块板就可以分成3份，每份至少1个名额，所以共有C29=36（种）分配方案。

故选B。

点评：在采用“标准型”隔板法解决实际应用问题时，关键在于确定问题是否属于相同元素的分组分配问题，当适用该标准时，可以直接采用公式Cm-1n-1（n为元素个数，m为分组的组数）来分析与计算。

二、“多分型”隔板法

“多分型”隔板法的模型是在“标准型”隔板法的基础上，同时允许某个对象至少分k个元素（kgt;1），可以优先安排某个对象分k-1个元素，这样就转化为每个对象至少分1个元素了，同时被分配的元素变为n-（k-1）个，由此转化为“标准型”隔板法去解决。

例3某学校决定把12个参观航天博物馆的名额给三（1）班、三（2）班、三（3）班、三（4）班。要求每个班分配的名额不比班级序号少，即三（1）班至少1个名额，三（2）班至少2个名额，…，则不同的分配方案有（）。

A.8种B.10种

C.165种D.495种

解析：根据题意，先在编号为2，3，4的3个班级中分别分配1，2，3个名额（共6个），编号为1的班级里不分配，符合“多分型”隔板法的模型;再将剩下的6个名额分配4个班级里，每个班级里至少1个名额，由隔板法可得，符合题目要求的分配方案共有C35=10（种）。

故选B。

点评：借助“多分型”隔板法解决实际应用问题时，需要同时满足以下三个要求：①被分配的n个元素无差别;②n个元素分给m个不同的对象（ngt;m）;③允许某个对象至少分k个元素（kgt;1）。

例4把20个相同的小球放到三个编号为1，2，3的盒子里，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则不同的放法共有______种。

解析：根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，符合“多分型”隔板法的模型。因此，原问题可以转化为将剩下的14个小球，分组分配放入3个盒子，每个盒子至少放1个小球的问题。将剩下的14个小球排成一排，有13个空位，在13个空位中任选2个，插入挡板，由隔板法可得，符合题目要求的不同放法共有C213=13×12/2=78（种）。

故填78。

点评：在采用“多分型”隔板法解决实际应用问题时，先根据“多分”条件，合理剔除其中需要多分的元素，在剩下的元素中，再通过“标准型”隔板法来分析，从而直接采用公式Cm-1n-k-1（n为元素个数，k为需要剔除的多分的元素个数，m为分组的组数）进行计算。

三、“少分型”隔板法

“少分型”隔板法的模型是在“标准型”隔板法的基础上，同时允许有对象分到0个元素，可以先“借”1个元素安排给可为0的对象，这样就转化为每个对象至少1个元素了，同时被分配的元素也变为n+1个，从而可用“标准型”隔板法去解决。

例5将20个完全相同的小球放进三个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，则不同的放法有（）。

A.190种B.231种

C.690种D.1140种

解析：依题意，每个盒子可以为空，可以先给每个盒子从外部借1个元素，总共就借了3个元素了，然后将23个元素分配给三个盒子且每个盒子至少分一个，符合“少分型”隔板法的模型。由此转化成“标准型”模型，则符合题目要求的放法共有C222=231（种）。

故选B。

点评：借助“少分型”隔板法解决实际应用问题时，需要同时满足以下三个要求：①被分配的n个元素无差别;②n个元素分给m个不同的对象（ngt;m）;③允许有对象分到0个元素。

例6不定方程x+y+z=12的非负整数解的个数为______。

解析：依题意，因为x+y+z=12，且x，y，z∈N，所以有0≤x≤12，0≤y≤12，0≤z≤12，所以1≤x+1≤13，1≤y+1≤13，1≤z+1≤13。不定方程x+y+z=12可变为不定方程（x+1）+（y+1）+（z+1）=15，相当于15个1被分成3部分，符合“少分型”隔板法的模型，进而每一部分至少有1个1，直接转化为“标准型”隔板法来应用。所以不定方程x+y+z=12的非负整数解的个数为C214=91。

故填91。

点评：在采用“少分型”隔板法解决实际应用问题，特别是以上各组条件统一的“少分型”应用问题时，可以直接将问题转化为m组元素均可为0时的“标准型”隔板法问题，可以直接采用公式Cm-1n+m-1（n为元素个数，m为分组的组数）来分析与计算。

总之，我们在遇到“相同元素有序分组”模型时，都可以采用隔板法来分析与处理。只是在实际解题与应用过程中，要分清隔板法应用的基本类型，区分“标准型”“多分型”“少分型”的基本特征，以及相应之间的联系与区别，合理变形与化归，巧妙转化与应用，进而合理采用隔板法这一特殊的技巧来分析，最终实现问题的突破与求解。

（责任编辑王福华）