理解题意 辨明方向

高考概率与统计解答题逐渐成为高考数学的第三难题，综合考查逻辑推理能力和应用能力，同学们在这一类试题上往往失分较多。本文通过评析2024年高考数学试卷中的概率与统计解答题，归纳常考题型，促进同学们对概率与统计知识的深入理解和运用。

②若甲先参加第一阶段比赛，则比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15。

所以P（X=0）=（1-p）3+[1-（1-p）3]（1-q）3，P（X=5）=[1-（1-p）3]·C13q（1-q）2，P（X=10）=[1-（1-p）3]·C23q2（1-q），P（X=15）=[1-（1-p）3]q3。

所以E（X）=15[1-（1-p）3]q=15（p3-3p2+3p）q。

若乙先参加第一阶段比赛，则比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15。

同理可得，E（Y）=15（q3-3q2+3q）p。

所以E（X）-E（Y）=15[pq（p+q）·（p-q）-3pq（p-q）]=15（p-q）pq（p+q-3），又0lt;plt;q，则p-qlt;0，p+q-3lt;1+1-3lt;0，则（p-q）pq（p+q-3）gt;0，即E（X）gt;E（Y）。

所以应该由甲参加第一阶段比赛。

点评：（1）正难则反。根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案。（2）本题模型是常规的顺序安排问题，需要同学们利用概率知识合理解读题目，关键是计算出相关概率和期望，遵循比较大小的主线，采用作差法，本质上是含有两个变量的高次代数式的处理，需要多次提取公因式并化简，从而比较出大小关系。试题将抽象的数学知识与实际生活相结合，引导同学们注重在现实情境中发现数学问题，建立数学模型，通过逻辑推理和数学运算来解决问题，体现了概率统计内容的应用价值，从而培养同学们的数学抽象、数学建模等核心素养。

概率与其他知识的结合问题不仅考查同学们对概率基本概念和计算方法的掌握，还要求同学们能够将概率知识与其他数学知识（如数列、函数、导数、不等式等），以及实际问题相结合，进行综合分析和解决，需要同学们具备扎实的数学基础和灵活的思维能力。

（责任编辑王福华）